Démonstration valeur propres vecteurs prores et SEV

[Roby]

Bonjour je voudrai démontrer ceci, mais les démonstrations ne sont pas vraiment mon fort.

Démontrer que l’ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre est un sous-espace
vectoriel

Je sais que pour que F soit un SEV il faut :
-F est non vide
-F est stable pour l'addition
-F est stable pour la multiplication par un scalaire

Mais comment représenter "vecteurs propres associé a des valeurs propres "de façon générique pour faire la démonstration ?

Merci

[zygomatique]

salut

qu'est ce qu'un vecteur propre ?

[Roby]

Bon,

Une valeur propre c'est selon moi une racine associée au polynôme |A-X*Id|. On va l'appeler ValP
Un vecteur propre associée à ValP c'est le noyau de (A-ValP*Id) donc Ker(A-ValP*Id)

J'ai lu que Ker(f) = {x appartenant a V | f(x) = 0} et que le noyau est un SEV de L' espace vectoriel V

Je suppose que comme mon vecteur propre est un noyau il est forcément un SEV ?

[Sylviel]

Non un vecteur propre est un élément non nul de Ker(A- valp I), le sous espace propre (l'ensemble des vecteurs propre + 0) associé à valp est donc Ker(...) qui est un SEV.

Sinon une définition plus simple d'un vecteur propre associé à valp c'est :
X non nul tel que AX= valp X

A partir de cela tu peux construire l'ensemble des vecteurs propres... si tu y ajoutes 0 tu obtiens bien un SEV !

[Roby]

Ok je te remercie, mais pourquoi Ker() est forcément un SEV ?

[zygomatique]

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ....

revenons aux définitions de base et dans l'ordre :

un nombre a est une valeur propre de l'endomorphisme f s'il existe un vecteur v non nul tel que f(v) = av

tout vecteur u tel que f(u) = au pour un certain réel a est appelé vecteur propre (associé à la valeur propre a)


soit une valeur propre de f

soit F = {v dans E / f(v) = av}

montrer que F est un sous-espace vectoriel de E

[samoufar]

Bonjour,

On peut remarquer que l’ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre est un SEV comme noyau de l'application linéaire .

Après, pour montrer que est un SEV (où est un application linéaire quelconque), il suffit d'écrire, ça marche tout seul ( , ).

[zygomatique]

certes mais vu la question élémentaire on se fout de savoir ce qu'est un noyau et on travaille avec les définitions de base .... qui suffisent amplement ... et semblent le plus naturel (pédagogiquement) comme réponse ....

[Roby]

Je vous remercie, je vous cache pas que je comprend pas mais je pense pas qu'on puisse faire plus simple, vous avez l'air d'avoir déjà simplifié au max.

[zygomatique]

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ....

revenons aux définitions de base et dans l'ordre :

un nombre a est une valeur propre de l'endomorphisme f s'il existe un vecteur v non nul tel que f(v) = av

tout vecteur u tel que f(u) = au pour un certain réel a est appelé vecteur propre (associé à la valeur propre a)


soit une valeur propre de f

soit F = {v dans E / f(v) = av}

montrer que F est un sous-espace vectoriel de E

1/ f(0) = 0 = a * 0

donc 0 appartient à F (et en particulier F n'est pas vide)

2/ soient u et v deux éléments de F

f(u + v) = f(u) + f(v) = au + av = a(u + v)

donc u + v est un élément de F

3/ soit k un scalaire et u un éléments de F

f(ku) = kf(u) = k(av) = a(kv)

donc kv est un éléments de F


par conséquent F est un sous-espace vectoriel ...



il suffit de le faire .... pour le faire ...