Démonstration d'une implication...

par **skyskiper** » 09 Oct 2006, 17:58

Salut à tous!
J'ai encore besoin de votre aide, qui, soit-dit en passant, m'est vraiment super précieuse! lol
Voilà, je dois démontrer une implication mais je n'arrive pas établir le bon raisonnement. J'ai essayé de démontrer la contraposée mais... je n'y arrive toujours pas! :triste:
Voic l'implication que je dois démontrer:
Soit f un application d'un ensemble A vers un ensemble B. Montrer alors que:

est injective
Merci à ceux qui prendront un peu de leur temps pour m'aider!
++ :we:

par **Zebulon** » 09 Oct 2006, 18:07

Bonsoir,
regardez ce qui se passe si on prend P={x} et Q={y}...

par **skyskiper** » 09 Oct 2006, 18:17

Zebulon a écrit:Bonsoir,
regardez ce qui se passe si on prend P={x} et Q={y}...

Je ne peux pas prendre P={x} et Q={y} car l'énoncé précise "pour tout (P,Q) appartenant à P(A)".
Ce serait comme prendre un exemple pour démontrer un théorème...

par **Zebulon** » 09 Oct 2006, 18:25

Non, vous faîtes une erreur de logique.
On suppose que pour tous

,

.
Donc ceci est vrai quelles que soient P et Q deux parties de A. C'est donc vrai en particulier pour les singletons.

par **skyskiper** » 09 Oct 2006, 20:18

Je suppose donc que l'espression

est vraie, alors elle sera aussi vraie pour P={x} et Q={y}, et je peux montrer alors, avec cette hypothèse en plus, que f est injective.
Mais alors je me pose une question: si P et Q ne sont pas des singletons, rien ne me prouve que

est injective pour le reste des possibilitées de P et Q...

par **Zebulon** » 09 Oct 2006, 20:33

Reprenons le raisonnement du début. Je vous suggère de raisonner par contraposition :
quelle est la contraposée de :
[

f injective sur A]?

par **skyskiper** » 09 Oct 2006, 20:50

f est non injective

Je pense que c'est la contraposée, c'est faux?

par **Zebulon** » 09 Oct 2006, 21:16

skyskiper a écrit:f est non injective

C'est ça. Maintenant écrivez ce que signifie f non injective sur A.
Il va ensuite falloir trouver deux parties P et Q qui seront telles que

.

par **skyskiper** » 09 Oct 2006, 21:30

f non injective signifie que

C'est ça?
Et si on prend P={x} et Q ={y}, on a:

?

par **Flodelarab** » 09 Oct 2006, 23:13

Je comprends pas le cheminement de zébulon et je doute que ça aboutisse.

Une égalité d'ensemble est une double inclusion.
si un élément x est pris dans l'ensemble P inter Q alors il est sur que f(x) appartiendra a l'ensemble f(P) inter f(Q)

Mais dans l'autre sens ?
Si on prend un élément dans f(P) inter f(Q), qu'est ce qui empeche f d'avoir des antécédents dans un ensemble différents de P et de Q ?
l'injectivité.

Sinon, on peut trouver un élément qui n'appartient ni à P, ni à Q mais qui attérit dans f(P) inter f(Q)
Je rappelle que l'injectivité assure au plus un antécdent ... donc s'il en a un, c un élément de P et un élément de Q mais pas un élément de l'exterieur (le "et" vient du fait qu'on parle de f(P) inter f(Q) )

A toi de mettre en forme.

ok?

par **Zebulon** » 10 Oct 2006, 06:00

Flodelarab a écrit:Je comprends pas le cheminement de zébulon et je doute que ça aboutisse.

Mon raisonnement est le suivant. Je montre la contraposée de

donc je montre

.
Supposons f non injective sur A, alors

.
Je montre ensuite que si

et

, alors

.

par **Flodelarab** » 10 Oct 2006, 11:49

Zebulon a écrit:Mon raisonnement est le suivant. Je montre la contraposée de

donc je montre
.
Supposons f non injective sur A, alors
.
Je montre ensuite que si et , alors .

ok!
C moi ki avait pas completement cerné le probleme

Démonstration d'une implication...

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