Demonstration d'un theoreme

[mseti]

demontrez le theoreme suivant:
Soit E un ensemble fini et A une partie de E.alors:
A est un ensemble fini et Card A =< Card E
A=E si et seulement si Card A=Card E
merci d'avance :we:

[arnaud32]

quelle est la definition d'un ensemble fini?

[Pixis]

:id: récurrence :id:

Oops, j'ai pensé trop fort

[Anonyme]

Si A est une partie d'un ensemble E fini alors A est un sous-ensemble de E fini
et tu peux répondre aux 2 questions de cet exercice en raisonnant sur le cardinal de E et de A (en utilisant la définition d'un cardinal d'une ensemble fini)

[Pixis]

Si A est une partie d'un ensemble E fini alors A est un sous-ensemble de E fini

C'est exactement ce qu'il doit démontrer non ?

[Anonyme]

C'est exactement ce qu'il doit démontrer non ?

Pour moi ce n'est pas forcément le sujet mais j'ai peut être mal interprété l'énoncé ?

[Pixis]

demontrez le theoreme suivant:
Soit E un ensemble fini et A une partie de E.alors:
A est un ensemble fini et Card A =< Card E
A=E si et seulement si Card A=Card E
merci d'avance :we:

Pour moi voici une démonstration
On résonne par récurrence :
Soit le prédicat :
E Ensemble fini de cardinal n et A une partie de E A ensemble fini ET (Card(A)Card(E) OU (Card(A)=Card(E) A=E))

• Pour n=0

[INDENT]Card(E)=0 donc or Donc
On a bien Card(A)=Card(E) et A=E[/INDENT]

Soit n dans , on suppose .

• Montrons qu'elle est vraie au rang n+1

[INDENT]Card(E)=n+1 avec donc

1er cas
[INDENT]A=E auquel cas on a bien Card(A)=Card(E) d'où [/INDENT]
2ème cas
[INDENT]
Comme Card(E)0 et on dispose d'un tel que donc (chacun sa notation, mais ça veut dire E privé de a)
or donc par A est un ensemble fini de cardinal inferieur ou égal à n, donc strictement inférieur à n+1. d'où Card(A)<Card(E) ce qui donne
[/INDENT]
[/INDENT]
d'où la démonstration par récurrence ...


PS pour modérateurs : J'ai donné une démonstration "toute crue" parce que c'est une démonstration de cours qui possède quelques astuces et qui permettra par la suite à l'étudiant de résoudre des problèmes en utilisant des idées qui font partie de cette démonstration.