Démonstration du théorème de récurrence

[Victhemath]

Bonjour, dans mon cours, il y a la démonstration de la récurrence simple à partir du rang n0.

On propose de faire cette démonstration par l'absurde en reformulant l'énoncé. Donc en essayant de montrer :

A={n> ou égal à n0, non p(n)} est non vide.
D'après la propriété fondamentale, on a A qui a un plus petit élément N=min(A)

On a deux cas, le premier est quand N=n0 alors non p(N) est impossible.

Et le deuxième est quand N>n0. Quelqu'un peut-il m'étayer ce second cas ? Je ne comprends pas les étapes du cours.

On me dit:
sinon N>n0 alors N-1> ou égal à n0 et N-1
Merci et bonne soirée à tous.

[Ben314]

Bonsoir...
ben je sais pas trop quoi te dire à part peut-être détailler un peu plus..

sinon A ne contient que des éléments donc si , c'est qu'il est
alors Si un entier est strictement positif alors il est au moins égale à un
et l'inégalité est évidente et l'égalité, c'est la définition de
donc N-1 n'appartient pas à A. Vu que N-1 est strictement plus petit que le plus petit élément de A, c'est qu'il n'est pas dans A
Donc p(N-1) est vrai Vu que n'est pas dans A, par définition de l'ensemble A P(N-1) est vrai
donc p(N) par hérédité. On a supposé au départ que, la propriété P était vrai en et qu'elle était héréditaire, c'est à dire que, pour tout N, si P(N-1) est vrai alors P(N) est vrai.

[Victhemath]

Encore merci.. :) Vos explications sont vraiment explicites !