Démonstration d'un théorème de Poncelet

par **Rocklee** » 10 Juin 2006, 09:45

J'aurais besoin de la démonstration du théorème de Poncelet suivant:
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./p/poncelet.html
Pourriez-vos m'aider à la trouver s'il vous plait? Ou si vous avez une démo de ce th., pourriez-vous me la donner svp? C'est plutot urgent! Merci

par **abcd22** » 10 Juin 2006, 11:29

Bonjour,
il y a une démonstration dans le livre Géométrie projective de Samuel p.166.

par **Rocklee** » 10 Juin 2006, 12:07

Merci abcd22, tu saurais pas où je pourrais trouver ce livre stp??

par **abcd22** » 10 Juin 2006, 12:14

Dans toutes les bibliothèques universitaires je pense, c'est un livre de référence en géométrie projective. Il est aussi en vente en librairie (12 euros environ) mais c'est peut-être pas la peine de l'acheter juste pour regarder un théorème.

par **Rocklee** » 10 Juin 2006, 12:18

Tu as une idée de la démo??? Est-elle difficile ou compréhensible pour un élève de maths spé??
Je te remercie beaucoup pour tes réponses. Elles me seront très utiles.

par **abcd22** » 10 Juin 2006, 12:18

T'as rien trouvé en cherchant sur google sinon ?

par **Rocklee** » 10 Juin 2006, 12:30

Non, j'ai trouvé que des liens commerciaux ou des bibliographies d'agreg lol ^^. J'irai voir si je le trouve dans l'université la plus proche de chez moi (i.e. Paris 12).
Merci encore une fois pour tes précieuses réponses.

par **abcd22** » 10 Juin 2006, 14:45

C'est pour un TIPE ?
En fait la démonstration du théorème ne m'a pas l'air très compliquée, mais pour bien comprendre il faut quand même connaître de la géométrie projective, ce qui n'est pas du tout au programme en maths spé, si tu n'en as jamais fait ça risque d'être assez dur. C'est possible qu'il existe des démonstrations sans géométrie projective, mais je n'ai pas d'autres livres sous la main pour regarder, si tu vas dans une BU tu peux regarder s'il est dans les livres de Berger (Géométrie), ou Audin (Géométrie aussi), ou Ladegaillerie (Géométrie pour le CAPES et l'agrégation), ou d'autres livres de géométrie (Il y a d'autres théorèmes de Poncelet, qui parlent de tangentes et de bissectrices, il y a peut-être un lien avec ce théorème, même si je ne vois pas lequel là comme ça...). C'est normal que tu trouves des liens vers des bibliographies d'agrég, on ne fait quasiment plus de géométrie avant l'agrég ou le CAPES aujourd'hui, d'ailleurs tous les livres que j'ai cités sont des livres utilisés pour préparer l'agrégation ou le CAPES.

En fait Samuel montre que s'il existe un point

et un entier

tel que

, c'est vrai pour tout point (avec le même

).

La démonstration se fait avec des correspondances (2,2) :
On appelle correspondance (2,2) de C dans C une courbe B de C×C définie par une équation polynomiale F(u,v) = 0, où F est de degré partiel égal à 2 en u et v. u et v désignent les abscisses projectives des points de C (... et de C) (une conique s'identifie à une droite projective).
Un point m de C est un point fixe de B si

. Pour tout m il y a deux points de C en correspondance avec m, qui peuvent être confondus (ce sont les deux racines de F(m,v) = 0). Si m est racine double de l'équation en v F(m,v) = 0, ça fait 2 points fixes. Si B ne contient pas la diagonale I (u=v), elle a 4 points fixes, les racines de l'équation F(m,m) = 0.

A tout point

de C on fait correspondre les deux points

,

tels que

et

soient tangentes à

, en prenant les (autres) tangentes passant par

et

on obtient des points

et

... en recommençant on a des points

et

associées à

pour tout m, ça donne une correspondance

. La preuve consiste à montrer qu'avec l'hypothèse que pour un point, le polygone

« se referme » (

),

, I = identité (i.e. à tout point A de C,

associe A et A). Pour cela on remarque que

admet tous les

,

pour points fixes doubles, soit au moins

points fixes, donc elle contient I. On regarde de quoi se compose le reste de

, et on montre que c'est encore

, en utilisant la classification des correspondances (2,2) qui est faite avant dans le chapitre (que j'ai pas lu en détail).

Rq : Samuel fait la démonstration pour des corps algébriquement clos (donc dans

ici), mais si les ellipses C et

sont réelles on a bien le résultat dans

.

Il explique une autre démonstration avec des points critiques, mais elle ne m'a pas l'air plus simple (ni plus compliquée) que la première.

par **Rocklee** » 11 Juin 2006, 10:33

Ouais, c'est pour un TIPE. :p Comment t'as deviné?? Tu pense que je pourrais admettre la démo??

par **abcd22** » 11 Juin 2006, 13:03

En maths spé en ce moment c'est révisions d'oraux et fin (ou commencement) du TIPE, comme tu dis que c'est urgent et que ça m'étonnerait qu'on donne ça en exercice d'oral...
Admettre la démo, ça dépend de ce qu'il y a à côté dans ton TIPE, de l'importance du théorème pour leTIPE... Tu pourrais peut-être demander à ton prof de maths s'il n'y a pas de démonstration plus simple, et son avis pour admettre la démo ou non ?

par **Rocklee** » 11 Juin 2006, 13:33

Merci beaucoup pour tes réponses. Je lui demanderai. Au fait, quel est ton niveau? J'ai aussi une autre question : comment tu fais pour taper les R ou C qui représentent les réels et les complexes??

par **abcd22** » 11 Juin 2006, 13:54

Rocklee a écrit: Au fait, quel est ton niveau?

Euh là je passe l'agrégation et je suis censée être en train de réviser pour les oraux.

J'ai aussi une autre question : comment tu fais pour taper les R ou C qui représentent les réels et les complexes??

Il faut utiliser la langage LaTeX, en écrivant les formules entre [ TEX] et [ /TEX] sans les espaces (il y a aussi le bouton TEX en haut quand on tape un message). Pour

et

on met [ TEX]\mathbb{R}[ /TEX] et[ TEX]\mathbb{C}[ /TEX].
Il y a un fil dessus ici (si tu fais une recherche tu en trouveras d'autres), et il y a un aide-mémoire pour les formules sur Wikipedia.

par **Rocklee** » 11 Juin 2006, 14:08

Merci beaucoup, tes réponses sont supers!!

par **abcd22** » 13 Juin 2006, 15:52

Après vérification, le théorème s'appelle « grand théorème de Poncelet », il y a deux autres théorèmes qui s'appellent premier et deuxième théorèmes de Poncelet et qui n'ont pas l'air d'avoir un rapport avec le grand théorème de Poncelet.
Il y a une démonstration du théorème dans le livre de Berger partie 16.6, je n'ai pas lu en détail, ce n'est pas la même que celle de Samuel mais elle n'a pas l'air plus simple.
Dans Méthodes modernes en géométrie de Fresnel il y a un exercice p.118 qui démontre le théorème de Poncelet dans le cas particulier n=3, je n'ai pas cherché donc je ne peux pas dire si c'est difficile...

par **Rocklee** » 13 Juin 2006, 21:21

Merci encore! Le livre de Berger est au cdi de mon lycée, j'irai jeté un coup d'oeil.

Démonstration d'un théorème de Poncelet

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