Demonstration du théorème de Blozano Weierstrass

[Patchanka]

Bonjour à tous quelques questions d'un dm sur la demonstration du theoreme de Bolzano Weierstrass me pose problème, pourriez vous m'aider ?

Théorème 1 (Bolzano-Weierstrass). 
De toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente. 

On fixe une suite (un)n réelle que l'on suppose bornée par un réel M ≥ 0. 
1. Justifier que pour tout n ≥ 0, un ∈ [−M, M]. 

Ça c'est bon je l'ai fait. 

2. On définit par récurrence deux suites (an)n et (bn)n comme suit : 
— on pose a0 = −M et b0 = M ; 
— pour n ≥ 0, on pose An =[an, (an + bn)/2] et Bn =[(an + bn)/2, bn] 
 
* si An contient une infinité de terme de la suite (un)n, on pose an+1 = an et bn+1 = (an + bn)/2 

* sinon, on pose bn+1 = bn et an+1 = (an + bn)/2 

(a) Démontrer par récurrence sur n ∈ N que pour tout n ≥ 0, le segment In = [an, bn] 
contient une infinité de termes de la suite (un)n. 

Ça aussi,


(b) Montrer que pour tout n ≥ 0, on a l’inclusion In+1 ⊂ In.

Ça j'ai beau essayé' j'ai fait une récurrence mais je n'y arrive pas..

(c) Démontrer que si n ∈ N alors bn − an =M/2^(n−1)

Ça c'est bon

(d) En déduire que les suites (an)n et (bn)n sont adjacentes.

Ça c'est bon

3. On définit une application ϕ : N → N de la façon suivante :
— on pose ϕ(0) = 0 ;
— pour n ≥ 0 on pose ϕ(n + 1) = min{m ∈ N |(m > ϕ(n)) ∧ (um ∈ [an+1, bn+1])}.
(a) Justifier que le minimum ci–dessus existe bien et que ϕ est strictement croissante.

Et à partir d'ici c'est pareil je suis bloquée...

(b) Démontrer que pour tout n ∈ N, on a uϕ(n) ∈ In.

Merci d'avance pour votre aide..

[Ben314]

Salut,

(b) Montrer que pour tout n ≥ 0, on a l’inclusion In+1 ⊂ In.
Ça j'ai beau essayé' j'ai fait une récurrence mais je n'y arrive pas..

Y'a besoin de... rien du tout à part un peu de bon sens.
L'énoncé te dit que, si In=[a,b] (on s'en fout des indices) alors I(n+1) ça sera soit [a,c], soit [c,b] où c est le milieu de [a,b]. Et dans les deux cas de figure, c'est bien clair que I(n+1) c'est un segment contenu dans [a,b].

ϕ(n + 1) = min{m ∈ N |(m > ϕ(n)) ∧ (um ∈ [an+1, bn+1])}.
(a) Justifier que le minimum ci–dessus existe bien et que ϕ est strictement croissante.

LE truc à absolument savoir (vu que c'est le fondement même des maths., en particulier, c'est ça qui permet de démontrer le principe de récurrence), c'est que toute partie non vide de N admet un plus petit élément (i.e. un "min") [je sais pas si on te l'a dit, mais on dit que N est "bien ordonné"].

Bref, là, pour montrer que le min existe, tout ce que tu as à montrer, c'est qu'il y a au moins un entier m tel que m>ϕ(n) et um∈[an+1, bn+1].

Ensuite, la croissance de ϕ, ben elle résulte immédiatement de la définition : ϕ(n+1) c'est le min des m tels que "blablabla" donc il vérifie lui même le "blablabla" donc en particulier, on a ϕ(n+1)>ϕ(n) ce qui prouve la croissance.

Enfin, le fait que ϕ(n+1) vérifie le "blablabla", l'autre truc que ça te dit, c'est que u(ϕ(n+1))∈[an+1, bn+1] et ça répond immédiatement à la question (b)

[Patchanka]

Merci beaucoup pour votre réponse, je crois que j'ai tout compris !!!