Démonstration somme d'une suite arithmétique

[scottiii]

Bonjour,
Je suis à la recherche de la démonstration de la formule de la somme d'Euler (somme d'une suite arithmétique).


Si quelqu'un peut m'aider, ce serait vraiment super.
Merci beaucoup et bonne journée à vous

[Sa Majesté]

Salut,

Tu peux écrire la somme sous la forme :
S = 0 + 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n
et sous la forme :
S = n + (n-1) + (n-2) + 2 + 1 + 0

Et tu sommes en colonne.

[mathelot]

Il y a trois démonstration possibles:
celle de Sa Majesté;
par récurrence sur l'entier n;
en cherchant un trinôme P(x) tel que P(x+1)-P(x)=x , ce qui rend la somme télescopique.

[scottiii]

Merci beaucoup ! Démonstration faite et reussie grâce à vous