Démonstration de périodicité

[tpscience]

Bonjour à tous,

Je cherche à démontrer la périodicité d'une fonction . Et notamment les valeurs qu'elle prend dans un cycle car je sais que certaines valeurs se répètent dans un cycle, donc j'aimerais sortir également le nombre de valeurs différentes sur ce même cycle.

Pour faire cela j'imagine que partir avec un raisonnement sur les suites ne serait pas trop mal. Il faut également savoir que cette fonction cyclique dépend aussi de variables cycles (, et ). Voici comment on pourrait le traduire :









Où , et sont quelconques (rationnels ou irrationnels).
Et cela à partir des conditions initiales où , (et donc ) sont quelconques mais :



Et enfin, est défini comme : , avec où est une fraction rationnelle.

Voilà, si quelqu'un a une illumination...?!

Merci.

[spike0789]

Salut,

Quand tu dis :

Et cela à partir des conditions initiales où , (et donc ) sont quelconques mais :

est quelconque ou fonction de et ?

[tpscience]

Je dis en effet : "et donc " puisque est défini à partir de .
Mais effectivement, bien que soit quelconque, en m'en fixant un je fixe par la même occasion le qui en découle...!

C'était juste pour signaler qu'il n'y avait pas de pré-définition particulière.

[spike0789]

Ok donc j'ai bien et pour tout n, ?

[tpscience]

Exactement, c'est bien cela !

[spike0789]

Ok donc il suffit d'expliciter pour finir car on a

Tu remarques d'abord qu'il existe k (à déterminer) telle que , puis qu'il existe K (aussi à déterminer) telle que

Donc en prenant les termes paires / impaires, tu explicites et .

Et là, t'as tout explicité en fonction de n et des constantes.
Enfin c'est ce que j'aurai fait même si je t'avoue, je ne comprends pas vraiment ce que tu cherches à prouver... Tu veux montrer qu'il existe ?

[tpscience]

Oui, c'est bien cela.
Dans l'absolu, j'aimerais démontrer que pour un rapport donner , on peut en déduire le cycle qu'aura (qui correspond au dans ton expression), autrement dit le nombre de valeurs différentes qu'elle pourra prendre. Je sais en plus (car j'ai modélisé cela numériquement), que les valeurs obtenues sont symétriques spatialement, autrement dit certaines se répètent sur le cycle (en gros je pourrais avoir 5 valeurs de sur un cycle, mais seulement 3 seront différentes).
J'ai obtenu une formule pour les valeurs de paires et une pour celles impaires (obtenues par déductions et non analytiquement), mais je voudrais vraiment pouvoir retrouver cela par le calcul, d'où mon post...

[spike0789]

Alors j'ai fait les calculs et je trouve :










Ces trois suites sont "périodiques de période 2" ()

Donc aussi, ie quelque soit d (donc quelque soit )

Ca me semble bizarre vu tes résultats expérimentaux. J'ai peut être fait une erreur.

[tpscience]

Tes résultats ne sont pas forcément faux, je viens de me rendre compte qu'il manquait un carré au radicande de . J'ai changé les formules dans le post initial, voici :




Et :



Par contre, je ne comprend pas pourquoi tu as des résultats indépendants de ...?

Merci encore pour ton implication ! Si tu vois un meilleur résultat n'hésite pas !

[spike0789]

Parce que d ne dépend pas de n...



Comme , et

Alors,

[spike0789]

Et il y a quelque chose qui me gêne : si , alors

Et donc en comparant avec l'expression de , on a la condition :







D'une part,

Et d'autre part :

Soit :

Donc l'ensemble des valeurs possibles pour :

[tpscience]

En fait, c'est en faisant varier que mes périodicités changent. Donc tout dépend de ce . Typiquement, si je fixe et , pour des valeurs quelconques de et , j'obtiens une périodicité de 3 avec simplement 2 valeurs différentes de sur une période. Les valeurs suivent le schéma suivant :

[tpscience]

Bonjour à tous,

Bon je me suis rendu compte que j'avais oublié des choses dans le précédent modèle, voici les rectifications.

Il se trouve que la périodicité est respectée sous la condition de , ça c'est ok !

Maintenant, pour obtenir , dans l'absolu n'est pas suffisant, il y a une autre suite qui intervient et que j'ai omise ! Mea culpa !

Je viens de reposer les calculs et voici ce qu'il en sort :



A partir de là, je sais sur mes CI : , et :



Voilà, sincèrement désolé pour ceux qui aurait penché sur l'ancienne version du modèle...!!!

[tpscience]

Petit up dû aux évolution du modèle initial...!