Demonstration du perimettre d'un cercle

[haydenstrauss]

ouais c'est ce qui me drange .

On avait eu le meme probleme pour demontrer que

on tourner en rond comme l'avais bien expliquer nightmare (je suis pas pret doublier j'ai mi du temps avant de comprendre lol)

[yos]

Bonjour.
En effet, la proportionnalité entre le diamêtre du cercle et sa circonférence est assez évidente, de même que la proportionnalité entre le carré du rayon et l'aire du cercle. La seule chose qu'il faudrait prouver (et c'est pas trop dur), c'est que les coefficients de proportionnalité P/2R et S/R² sont égaux. Après on peut appeler pi cette valeur commune.
A part ça, on peut ranger les intégrales et la trigo au placard; c'est hors sujet.

[Yipee]

Je ne suis pas trop d'accord avec l'avis de yos. Pour moi apparait naturellement comme une intégrale. C'est à mon avis la bonne définition... Pour être plus précis, la définition de est
ou C est - par exemple - le cercle unité.

Pour ce qui est des sinus et des cosinus, la seule manière "raisonable" de les définir est par les séries...

Euh, quelqu'un peut m'aider avec mes displaystyle car là ma formule n'est pas très belle...

[Sdec25]

hum aucune idée lol

Tu essayais de démontrer une formule avec pi alors que tu ne sais pas ce qu'est pi, donc tu vois bien que tu devras admettre ce résultat.

En supposant que le périmètre du cercle de rayon 1 est 2pi, on peut montrer facilement que le périmètre d'un cercle de rayon r est 2 pi r, cela a été montré plusieurs fois dans ce topic.

Par définition pi est le rapport entre le périmètre et le diamètre, on n'a donc pas à démontrer cette égalité.

edit : Yipee, écris 3$ au début de la formule Tex

[haydenstrauss]

Par définition pi est le rapport entre le périmètre et le diamètre, on n'a donc pas à démontrer cette égalité.

Je ne comprends meme pas sa c'est pas possible de dire ça :s :s :s

ça doit bien se demontrer que le rapport entre le périmètre et le diamètre est pi on ne peux pas affirmer sans demonstration.faudrai deja demonterr que le rapport entre le périmètre et le diamètre est constant apres je suis d'accord pour admetre que ce nombre est pi mais d'abord faut démontrer que ce rapport est constant

[Sdec25]

faudrai deja demonterr que le rapport entre le périmètre et le diamètre est constant

déjà fait :we:, relis les réponses

[haydenstrauss]

je viens de relire la conversation j'ai pas vu tu peux me donner le numero du poste stp ?

[Sdec25]

lis tes MP haydenstrauss :lol3:

[haydenstrauss]

ouais je vois jamais quand j'en ai dsl


mais j'ai pas bien compris la demonstration il a di " en suposant bien sur que la circonference d'un cercle de rayon un est 2pi"

Moi je voudrais connaitre la demonstration pour montrer que le rapport vaut un nom constant


désolé si j'ai mal compris :(

[Sdec25]

Si on démontre que C(r) = r.C(1) avec C(r) = circonférence du cercle de rayon r, alors le rapport C(r)/r est constant et vaut C(1)
C(r)/D = constante appelée

[haydenstrauss]

Si on démontre que C(r) = r.C(1) avec C(r) = circonférence du cercle de rayon r, alors le rapport C(r)/r est constant et vaut C(1)
C(r)/D = constante appelée

Ok je comprend mais faut-il encore démontrer que C(r) = r.C(1)
_______________________________________________________________________
Dsl si on a deja demontré ça mais j'ai du mal a comprendre

[Sdec25]

Ça a déjà été démontré.

[alben]

Bonsoir,

Si vous avez un bout de ficelle dans la poche gauche et un laser dans la poche droite, comment allez vous faire pour matérialiser une ligne droite ?
:we:
Le post initial partait de polygones encadrant un cercle. On peut très bien utiliser, cette technique, comme l'avaient fait les grecs, avec comme seuls outils le théorème de pythagore et les racines. Simplement il ne faut pas créer une suite en fonction du nombre de cotés mais doubler celui-ci à chaque fois :
Sn et sn seront les périmètres d'un polynome de 2^n cotés.
On passe alors facilement (avec quelques racines carrées) de sn à sn+1 et Sn à Sn+1 avec seulement pythagore.

[haydenstrauss]

tu peux faire la demonstration de cette maniere stp :)

[alben]

Bonsoir,

Il te faut d'abord calculer les relations entre les cotés d'un polygone inscrit (circonscrit) de 2N cotés lorsqu'on connait ceux d'un polygone de N cotés.
Centre du cercle O, arc AB avec C son milieu, H= intersection de AB et OC, T=intersection de la tangente en A avec OB et K=intersection de la tangente au cercle en B avec OC.
Pour le polygone inscrit, il suffit de prendre pythagore sur OHB et CHB.
Pour l'autre, il faut remarquer que AK=BK et d'écrire pythagore sur KBT et OAT
Ca te donne les relations cherchées.
en notant x le coté du polygone à N cotés et y celui du polygone à 2N cotés et prenant R=1 on obtient :
inscrit circonscrit :
A partir de là, il n'est pas difficile de construire les suites correspondant au périmètre.
La croissance de l'une et de décroissance de l'autre peuvent se montrer analytiquement ou géométriquement...

[haydenstrauss]

Pour le polygone inscrit, il suffit de prendre pythagore sur OHB et CHB.

comment on trouve BH on connais pas OH

[alben]

comment on trouve BH on connais pas OH

BH c'est la moitié du coté du polygone à N cotés, OH ou CH, c'est ce qu'on élimine à partir des deux équations de Pythagore,

[haydenstrauss]

hum

je demander comment on connais BH pour connaitre ensuite AB et multpuplier par le nombre de coté pour avoir le périmetre.

Je ne vois pas les tes deux equations.

J'ai fait la figure et je ne vois pas comment obtenir AB

[alben]

Désolé, c'est très simple :
OH²=R²-HB² et CB²= (R-OH)²+HB²=[R-racine(R²-HB²)]²+HB²
CB²=2R²-2R racine(R²-HB²) =2R²(1-racine(1-HB²/R²))
CB c'est le coté du polynome 2N et 2HB c'est celui du polynome N, en utilisant les x et y définis plus haut avec R=1, on a bien
y²=2(1-racine(1-x²/4)) ou en multipliant par la quantité conjuguée :
y²=x²/[2+racine(4-x²)]

[haydenstrauss]

CB²=2R²-2R racine(R²-HB²)

Je ne comprends pas pourqoui :s