Demonstration du perimettre d'un cercle

[haydenstrauss]

Voila je voudrais démontrer que le périmettre d'un cercle est:

Je pensait a faire deux suite adjacente.

correspon un polygone régulier a n coté inscrit dans le cercle

correspond a un polygone régulier a n coté ciconscrit au cercle.

En faisai tendre n vers l'infinie les deux polygones épousent le cercle.

Mon probleme: je n'aarrive pas a trouvé le perimetre des polygones. C'est n fois la langueur du coté mais je ne trouve pas cette longeur je sais que c'est possible en faisan apparaitre le cos un sin (je ne sais plus) mais j'aimerais evité cela (c'est con dutiliser le cos et sin alors qu'ils sont basé sur le perimetre d'un cercle)

Pouvez vous m'aider ?

Merci par avance

[Sdec25]

Salut

pi est par définition le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle.

Et un angle en radian est défini par la longueur de l'arc formé par l'angle sur le cercle de rayon 1, donc vouloir démontrer la formule du périmètre d'un cercle en utilisant les angles ne sert à rien.

On peut néanmoins le vérifier :
En faisant avec des polygones, divise chaque triangle formé d'un côté du polygone et de 2 rayons, en 2 triangles rectangles pour avoir avec l la longueur d'un côté d'un polygône.
Le circonférence est qui tend vers quand n tend vers l'infini.
même chose avec le polygone extérieur où

[haydenstrauss]

ouais mais toute les formule decos et sin decoulent pas de fait que la circonference du cercle trigo fait deux pi ?
si oui on tourne en rond

[Sdec25]

pi est par définition le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle.

donc le périmètre est égale à

[haydenstrauss]

Posté par Sdec25
pi est par définition le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle.

heu dans ca comment desmontre que le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle est toujours egal a pi ?

sa pourrait tres bien cha,ger de nombre en fonction de diametre

[Yipee]

La réponse dépend un peu de ton niveau d'étude... Si tu sais le faire, il suffit de cacluler la longeur de la courbe paramétrée

[haydenstrauss]

heu non je ne cnonais pas les courbe paramétrique :(

(je rentre en premiere année de licence cette année)

[Yipee]

Euh, je ne connais pas le nouveau système universitaire. Quand tu dis que tu rentres en première année de licence cela signifie que tu viens d'avoir ton bac c'est cela ?

[haydenstrauss]

Oui voila j'ai passé mon bac cette année

[nekros]

Salut,

Euh en fait il suffit de calculer

Comme l'a dit Yipee, on pose x=Rcos(t) et y=Rsin(t)

Donc

A+

[nada-top]

euh...on voit déjà la représentation paramétrique d'un cercle , d'une droite...bien avant je Bac non?

donc il me parait que c'est la représentation paramétrique du cercle-unité puisque la repésentaion paramétrique généralé d'un cercle est :

tel que est le centre et r le rayon .

sinon je suis totalement perdue :lol5:

[nada-top]

Salut,

L'équation du cerlce de centre (0,0) est :
Comme l'a dit Yipee, il suffit de poser et car dans ce cas,

oui c'est à peu prés comme ça on a prouvé la représentation paramétrique d'un cercle mais dans le cas général . ça m'affirme que je suis pas perdue :we:

[nekros]

Ouais, c'était pour expliquer pourquoi on pose x=Rcos(t) et y=Rsin(t) :zen:

PS : nada-top, ta messagerie est pleine :cry:

[Yipee]

Attention, l'intégrale curviligne se calcule par


et non pas la forumle donnée par Nekros (cela se voit si on décale le cercle....)

[Yipee]

Tiens une remarque à part, comment on met du displaystyle ? j'ia essayé \displaystyle mais cela ne marche pas...

[nekros]

Attention, l'intégrale curviligne se calcule par


et non pas la forumle donnée par Nekros (cela se voit si on décale le cercle....)

Je ne comprends pas : parce que j'ai écrit x au lieu de x(t) ?
Dans ce cas ce n'est qu'ue notation abusive, puisque forcément x dépend de t : x=Rcos(t)

[nekros]

Attention, l'intégrale curviligne se calcule par


et non pas la forumle donnée par Nekros (cela se voit si on décale le cercle....)

Arf oui tu as raison, j'étais complétement à l'Ouest :marteau:
C'est bien avec ?

Donc (vu les bornes de l'intégrale)

Donc le périmètre vaut bien

PS : je supprime mon message pour éviter toute confusion

A+

[Sdec25]

sa pourrait tres bien cha,ger de nombre en fonction de diametre

Si on prend un cercle de rayon r, de circonférence C, avec dx un petit bout d'arc :

(dx = r da c'est du Thalès)
bien-sûr on a supposé que la circonférence d'un cercle de rayon 1 est de 2 pi

Mais dis-moi haydenstrauss, si tu veux démontrer avec l'aide de simple suites (sans utiliser de fonctions trigonométriques) que le périmètre est 2 pi r, comment tu comptais t'y prendre pour faire apparaître pi ?

[haydenstrauss]

hum aucune idée lol

on voit en terminal les euqation parametrique d'une droite mais c'est tout du style :

x=a+ek
y=b+tk
z=c+vk

a b c : coordoner d'un point de la droite
e t v : coordonner du vecteur normal a la droite


voila j'ai résumé ece que on apprend (enfin y'a d'auter comme la distance dun point a une droite)

[cesar]

est il "honnete" de raisonner ainsi ? derriere les fonctions sinus et cosinus, n'y a t il pas comme hypothese que le perimetre du cercle est proportionnel à pi ?. en somme, vous demontrez la formule du perimetre à partir d'elements demontrés eux même à partir de cette formule...