Démonstration de la non existence de surjection de E dans P(

par **WokWok** » 03 Juil 2010, 15:01

Salut à tous!

Je me demdandais si ma démonstration de la non existance de surjection de E dans P(E) était correcte (elle ne se base pas sur la partie

).

Soit f une surjection de E dans P(E), elle est définie par:

,
ainsi, on déduis que

(puisque dans le cas ou l'existence est unique on obtient une bijection avec E = F).

Or,

(puisque au moins

), COntradiction, donc f n'est pas une surjection. CQFD

Est-ce juste?

Merci!

par **Nightmare** » 03 Juil 2010, 15:19

Salut,

qui est F ?

par **benekire2** » 03 Juil 2010, 15:21

Je pense qu'il a voulu marquer F=P(E)

par **benekire2** » 03 Juil 2010, 15:25

Sinon, ta démo à l'air juste, Puisque comme tu suppose la surjection alors P(E) inclus dans E et comme E est strictement inclus dans P(E) alors on en déduit P(E) strictement inclus dans P(E) ce qui est faux.

Toutefois, l'argument diagonal est tout simplement magnifique...

par **Nightmare** » 03 Juil 2010, 15:25

Dans ce cas, je ne vois pas pourquoi il déduit

.

par **WokWok** » 03 Juil 2010, 15:27

Oui oui, c'est bien F = P(E) (j'avais commencé en notant F)

par **Nightmare** » 03 Juil 2010, 15:33

Ta démo est incorrecte, rien ne justifie ce

, qui est d'ailleurs très incohérent...

par **WokWok** » 03 Juil 2010, 15:42

Un surjection envoie toujours un ensemble de cardinal plus important dans un autre non (de cardinal moins important) non? Puisqu'il existe au moins une solution à y = f(x), cela implique qu'il existe au moins autant d'éléments dans E que dans F (l'égalité étant une bijection.)

par **benekire2** » 03 Juil 2010, 15:50

Toutes mes excuses, j'ai dit n'importe quoi. Tu peut simplement dire que si E est fini alors avec l'application supposée surjective f:E-->P(E) alors on a

c'est tout, et pas d'inclusion.
Encore désolé :marteau:

par **Doraki** » 03 Juil 2010, 15:50

Quand tu dis "f définie par ...", ça veut dire "f est une surjection donc f vérifie ..." ?

Quand tu dis "P(E) inclus dans E", ça veut dire qu'il y a une injection g qui va de P(E) dans E (qui, elle, vérifie, pour tout y de P(E), f(g(y)) = y)

Et après ? c'est quoi la contradiction ? C'est quoi ton inclusion/injection de E dans P(E) ?

par **WokWok** » 03 Juil 2010, 16:10

Je vais bien réecrire la démo^^

On veux montrer qu'il n'existe pas de surjection de E dans P(E). On raisonne par l'absurde:

Supposons qu'une telle surjection existe et notons la f. Ainsi, de la définition de la surjectivité on peut écrire:

Ainsi, on remarque que [TEX]card(P(E)) card (E) (puisque au minimum, P(E) contient l'ensemble vide, les singletons correspondants aux éléments de E et E lui même, soit un ensemble déjà plus grand que E).
D'où:
E appartient à P(E) ce qui est absurde puisque l'on à vu que à cause de la nature surjective de f, card(P(E)) <= card(E) ,
donc f ne peut pas exister.

par **Nightmare** » 03 Juil 2010, 16:44

Quel signification donnes-tu à Card(P(E)) < Card(E) lorsque E est infini?

par **WokWok** » 03 Juil 2010, 16:53

Qu'il est possible d'établir une injection de (P(E)) dans E.

par **Doraki** » 03 Juil 2010, 16:58

WokWok a écrit:Or, nous savons que card (P(E) ) > card (E) (puisque au minimum, P(E) contient l'ensemble vide, les singletons correspondants aux éléments de E et E lui même, soit un ensemble déjà plus grand que E).

Ah, et c'est quoi la différence avec ça :

card(N) > Card(N*) car N = N* u {0} donc N est un ensemble plus grand que N*
card(N*)>=Card(N) car l'application f(x) = x+1 est une injection de N dans N*
Donc card(N) > card(N).

Enfin bon il faut que tu détailles tes définitions de "card(a) <= card(b)" et de "card(a) < card(b)", pour voir si "card(a) < card(a)" est contradictoire ou pas.

par **WokWok** » 03 Juil 2010, 17:04

Arf, je n'y avais pas pensé!

Mais j'ai le droit de parler d'ensemble 'plus grand'? (dans ce cas ma démo est plus simple à écrire).

Et existe t'il une définition de card(A) > card(B) pour A et B infinis?

par **ffpower** » 03 Juil 2010, 17:26

Oui, card(A)>card(B) si il existe une injection de B dans A mais qu'il n'existe pas d'injection de A dans B. Donc en utilisant les cardinaux, tout ce que tu risques de faire c'est tourner en rond, puisque le théoreme que tu essaies de prouver stipule justement grosso modo que card(P(E))>card(E)

par **WokWok** » 03 Juil 2010, 18:14

Mais puis-je parler d' 'ensemble plus gros' sans trop faire entorse à la rigueur mathématique?

par **ffpower** » 03 Juil 2010, 18:33

Si tu définis ce que signifie "plus gros" et que tu justifies qu'effectivement, l ensemble est plus gros, alors oui..

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