Démonstration non comprise

[manon2893]

j'ai une démonstration que je ne comprends pas pourriez vous me l'expliquer.

il faut montrer que gt = (yt -yt-1)/(yt-1) peut également s'écrire gt=ln(yt)-ln(yt-1)

(les t et t-1 sont en en indice)

j'ai donc comme démo:

ln (yt)-ln(yt-1) = ln (yt/yt-1) = ln ( (yt-1/yt-1) + ((yt - yt-1)/yt-1) = ln( 1 + (yt - yt-1)/yt-1)) et ceci est environ égale à (yt-yt-1)/yt-1


alors voilà pouvez vous m'expliquer le passage de de la 2ème à la 3ème étape où l'on rajoute le quotient (yt-1)/(yt-1)
--> pourquoi a-t-on le droit de faire cela et pourquoi lors de la dernière étape on peut supprimer le +1

merci par avance

[Le_chat]

Salut. Tu as bien yt/y(t-1)=y(t-1)/y(t-1)) + (yt - y(t-1))/y(t-1), suffit de rassembler les termes de la seconde somme.

Donc ln (yt)-ln(yt-1) =ln( 1 + (yt - yt-1)/yt-1)). Comme je pense qu'on suppose dans l'énoncé que gt est très petit/ petit, on utilise l'approximation ln(1+x)=x quand x est petit.

On écrit donc ln( 1 + (yt - yt-1)/yt-1))=gt.

C'est pas une égalité mathématique, mais un "environ égal", mais ça reste une excellente approximation pour peu que gt soit petit.

[elvis77]

le fait d'approximer la fonction f est en fait "développement limité" de la fonction ln .

[manon2893]

Salut. Tu as bien yt/y(t-1)=y(t-1)/y(t-1)) + (yt - y(t-1))/y(t-1), suffit de rassembler les termes de la seconde somme.

Donc ln (yt)-ln(yt-1) =ln( 1 + (yt - yt-1)/yt-1)). Comme je pense qu'on suppose dans l'énoncé que gt est très petit/ petit, on utilise l'approximation ln(1+x)=x quand x est petit.

On écrit donc ln( 1 + (yt - yt-1)/yt-1))=gt.

C'est pas une égalité mathématique, mais un "environ égal", mais ça reste une excellente approximation pour peu que gt soit petit.

Merci pour l'aide :we: