Demonstration en Géometrie plane

[Dago]

Bonjour, je vous expose mon problème (qui doit sans doute être très évident à résoudre)
Je dois démontrer le théorème : d(A, (D)) = |ax0 + by0 + c| / racine(a²+b²)
L'indice du prof était d'utiliser l'équation paramétrique de la droite (AH) (H étant le projeté de A sur D).
Voila si vous pouviez m'éclairer.
D'avance merci

[tize]

et que représente ax0+by0+c, a et b ?

[Dago]

Eh bien ax+by+c=0 est l'équation de la droite D

le vecteur directeur de D est donc u(-b ; a)
le vecteur normal à D est donc n(a ; b)

PS: dsl j'ai pas encore compris comment inserer des images mathématiques et des dessins dans les posts

[tize]

et , ?

[Dago]

Euh, c'est moi qui ait posé l'équation paramétrique de ma droite.
Donc ca peut être les coordonnées de A comme de H je pense, au choix.

[Flodelarab]

Euh, c'est moi qui ait posé l'équation paramétrique de ma droite.
Donc ca peut être les coordonnées de A comme de H je pense, au choix.

Mauvaise réponse! car H vérifie l'equation de droite donc
ax0+by0+c=0

on a evidemment A(x0,y0)


Très bonne idée les droites paramétrées
Une droite paramétrée a pour equation ou V est le vecteur donnant la direction de la droite

Après Pythagore

[Dago]

Mauvaise réponse! car H vérifie l'equation de droite donc
ax0+by0+c=0

Si on prend le cas particulier ou x = x0 dans ce cas la ca marche non ?

on a evidemment A(x0,y0)

C'était bien ma première idée quand même :p

Très bonne idée les droites paramétrées
Une droite paramétrée a pour equation x(t)=x0+tvx ou vx est le vecteur donnant la direction de la droite (pour les x)

Dans mon cas ça donne x(t)=x0+at non ?

En tout cas je vois pas ou ça me mène pour démontrer la formule distance point/droite :briques:

[tize]

Salut Flordelarab!

ax0+by0+c=0
on a evidemment A(x0,y0)

Si est l'équation de et vaut 0 avec cela ne veut-il pas dire que dans ce cas d(A;(D))=0 non ? ou alors je n'ai pas compris ce que tu as voulu dire ...

[Dago]

Salut Flordelarab!



Si est l'équation de et vaut 0 avec cela ne veut-il pas dire que dans ce cas d(A;(D))=0 non ? ou alors je n'ai pas compris ce que tu as voulu dire ...

A est un point du plan, c'est H le projeté

[tize]

Dans mon cas ça donne x(t)=x0+at non ?

tu as oublié un b quelque part n'oublie pas que tu connais déjà le vecteur normal à (D)

[tize]

A est un point du plan, c'est H le projeté

C'est bien ce que je dis, donc

[tize]

Dans mon cas ça donne x(t)=x0+at non ?

C'est plutôt

[Flodelarab]

G eu la flemme de citer les posts qui me font réagir. Je réponds en vrac.

Je ne comprends pas qu'on se demande d'ou viennent x0 et y0. Faut bien que quelque part le point A apparaisse. De plus, proposer le point H(x0,y0) est absurde car il sous entendrait que tout point du plan est a une distance 0 de la droite ...

On n'a pas oublié le b. Ya une equation paramétrée pour les x et une pour les y.
après par soustraction des coordonnées des points, on a tout ce qu'il faut pour appliquer Pythagore.

[Dago]

G eu la flemme de citer les posts qui me font réagir. Je réponds en vrac.

Je ne comprends pas qu'on se demande d'ou viennent x0 et y0. Faut bien que quelque part le point A apparaisse. De plus, proposer le point H(x0,y0) est absurde car il sous entendrait que tout point du plan est a une distance 0 de la droite ...

On n'a pas oublié le b. Ya une equation paramétrée pour les x et une pour les y.
après par soustraction des coordonnées des points, on a tout ce qu'il faut pour appliquer Pythagore.

arf je comprends pas

[rene38]

Bonjour

Une autre piste :
étant un vecteur normal de (D) et M un point de (D), on a

[Dago]

Voici un dessin:

[Dago]

Personne ne peut me dire les étapes de la demo?

[Flodelarab]

1. Déterminer les coord de H
2. déterminer xH-x0 et yH-y0
3. appliquer Pythagore

[tize]

Puisque tu peux considérer .
Calcul le vecteur (avec xH-x0 et yH-y0), il est orthogonal à d'où tu pourras en déduire et en fonction de et . En suite tu n'auras plus qu'à calculer la norme du vecteur (c'est ce que Flordelarab dir en parlant de Pythagore)