Démonstration de formules : intégrales

[Anonyme]

pourait-on me démontrer ces quelques formules:
(ce sont des intégrales)

|a
| f(t) dt =0 (fonction impaire)
|-a

|a.................|a
| f(t)dt = 2| f(t) dt (fonction paire)
|-a................|0

|a+T......... |T
| f(t)dt = | f(t) dt (fonction périodique)
|a..............|0

| nT...........|T
| f(t) dt = | f(t) dt ( fonction périodique)
| 0.............|

[thomasg]

on supposera que f est continue sur [-a;a]
1ere formule, on a f(-t)=-f(t)
donc int(-a,a,f(t))=int(-a,0,f(t))+int(0,a,f(t))
donc =int(-a,0,-f(-t))+int(0,a,f(t))
=-int(-a,0,f(-f)+int(0,a,f(t))
=-int(0,a,f(T))+int(0,a,f(t)) avec le changement de variable T=-t dans la première équation.
=0

les autres démo sont du même genre.

[Anonyme]

[quinto]

En fait on a pas besoin de supposer f continue...

[thomasg]

c'est pour ne pas avoir de question a se poser sur la convergence des intégrales