Démonstration: Famille libre

[Rockleader]

J'aimerais comprendre comment démontrer la propriété suivante:

Soit {u1,...,uk} une famille libre d'un espace vectoriel (E,+,.) et v un vecteur appartenant à cette famille. Il existe alors un unique k-tuplet (ß1,...,ßk) appartenant à R^k tel que

v = Somme des ßiUi pour i=1 à k.



J'ai eu ceci en controle et j'ai complètement raté. Mon idée de base était de partir sur une démonstration par l'absurde et de supposer qu'il en existait un second pour finallement montrer que c'était les même. Mais à priori ça n'a pas marcher; ou tout du moins je n'ai pas employer les bons arguments...



Merci pour votre aide.

[Doraki]

Tu appliques la définition de "(Ui) est une famille libre" à v-v' = somme des ;)i-;)i' Ui

[Rockleader]

Tu appliques la définition de "(Ui) est une famille libre" à v-v' = somme des i-;)i' Ui

Du coup ça nous fait

v = somme des ßiUi : LIBRE donc par définition somme des ßiUi = 0 ?
v-v' = somme des (ßi-ß'i) Ui LIBRE donc par définition somme des (ßi-ß'i)Ui = 0 ?

v' est donc libre et
ß'i..ß'k est un second k-tuplet.


Je ne vois pas en quoi cela nous aide à dire que l'on a un seul k-tuplet. A moins que l'on ne puisse dire que ß'i ne peut prendre une autre valeur que 0.

[Clu]

v = somme des ßiUi : LIBRE donc par définition somme des ßiUi = 0 ?
v-v' = somme des (ßi-ß'i) Ui LIBRE donc par définition somme des (ßi-ß'i)Ui = 0 ?

Ce n'est pas la définition d'une famille libre.
La définition correcte est : somme des ßiUi = 0 => les ßi sont tous nuls.