par Ben314 » 10 Nov 2017, 00:07
Salut,
C'est pas super clair tes questions, mais ça donne l'impression que ce que tu aimerais, c'est, partant d'un espace vectoriel absolument quelconque, savoir comment on fait pour exhiber une famille génératrice.
Dans ce cas, il y a deux réponses possible :
Soit ce que tu entend par "famille génératrice", c'est en fait "famille génératrice finie" (*) et dans ce cas, la réponse est "c'est impossible" vu qu'il existe des espaces vectoriels qui ne possèdent pas de familles génératrices finies.
Et en fait, c'est la raison pour laquelle, dans le théorème de la base incomplète (tel que l'on te l'a démontré), on est obligé de supposer au départ que l'espace vectoriel E possède une famille génératrice finie.
Soit ce que tu entend par "famille génératrice", ça peut aussi englober des familles infinies et dans ce cas, la réponse à ta question est "oui, c'est possible, mais il faut utiliser l'axiome du choix". <= Faux : pas besoin de l'axiome du choix pour exhiber une famille génératrice (c.f. post çi dessous). C'est uniquement pour exhiber une base qu'il y en a besoin.
Sauf qu'à mon avis, à ton niveau la réponse est "très peu satisfaisante", car :
- L'axiome du choix, ça m'étonnerais que tu sache ce que c'est et c'est assez difficile de faire comprendre à un néophyte les tenant et aboutissement qui résident dans l'acceptation (ou le refus) de ce fameux axiome.
- Vu la définition que tu as eu en cours de ce qu'est une "famille génératrice", je ne suis pas persuadé du tout que tu puisse réellement comprendre ce que ça veut dire dans le cas d'une famille infinie : accepte t-on des sommes infinies ? si oui, qu'est qu'elles veulent dire ? si non, on fait quoi avec notre famille infinie dont on ne prend que des sommes finies ?
(*) Et à mon avis vu le niveau que tu semble avoir, je pense qu'on a du te parler uniquement de ce cas là.
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Ben314 le 10 Nov 2017, 00:29, modifié 2 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius