Démonstration existence famille génératrice pour tout espace

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Gustav
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Démonstration existence famille génératrice pour tout espace

par Gustav » 09 Nov 2017, 20:56

Bonjour,

Savez-vous comment on peut démontrer que tout espace vectoriel contienne au moins une famille génératrice ?
On pars seulement avec la définition d'un espace vectoriel.
Parce que le théorème de la base incomplète s'appuie sur le fait qu'il existe une famille génératrice dans l'espace.

Et en passant pouvez-vous m'éclairer sur une base de l'espace vectoriel nul {0} svp ? (sachant que 0 est lié…)

Merci ! ;)



aviateur
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Re: Démonstration existence famille génératrice pour tout es

par aviateur » 09 Nov 2017, 21:08

Bonjour
En dimension infinie l'existence d'une base ce fait par l'intermédiaire de l'axiome du choix
et l'espace {0} a bien une base, c'est une famille qui contient 0 élément.

Gustav
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Re: Démonstration existence famille génératrice pour tout es

par Gustav » 09 Nov 2017, 21:23

Merci pour la réponse, mais en fait ce que je cherche à démontrer ce n'est pas l'existence d'une base, mais l'existence d'une famille génératrice…
Modifié en dernier par Gustav le 09 Nov 2017, 23:49, modifié 1 fois.

Monsieur23
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Re: Démonstration existence famille génératrice pour tout es

par Monsieur23 » 09 Nov 2017, 23:09

Aloha,

C'est quoi ta définition de "dimension finie" ? :-)
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Gustav
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Re: Démonstration existence famille génératrice pour tout es

par Gustav » 09 Nov 2017, 23:52

Par dimension finie je parle du nombre de vecteur qui forme une base de l'espace, en l'occurence d'un nombre différent de +- infini.

Je ne veux pas passer par l'existence de la base pour démontrer qu'il existe une famille génératrice dans E (ça n'a pas de sens à mes yeux :/ )

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Ben314
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Re: Démonstration existence famille génératrice pour tout es

par Ben314 » 10 Nov 2017, 00:07

Salut,
C'est pas super clair tes questions, mais ça donne l'impression que ce que tu aimerais, c'est, partant d'un espace vectoriel absolument quelconque, savoir comment on fait pour exhiber une famille génératrice.

Dans ce cas, il y a deux réponses possible :

Soit ce que tu entend par "famille génératrice", c'est en fait "famille génératrice finie" (*) et dans ce cas, la réponse est "c'est impossible" vu qu'il existe des espaces vectoriels qui ne possèdent pas de familles génératrices finies.
Et en fait, c'est la raison pour laquelle, dans le théorème de la base incomplète (tel que l'on te l'a démontré), on est obligé de supposer au départ que l'espace vectoriel E possède une famille génératrice finie.

Soit ce que tu entend par "famille génératrice", ça peut aussi englober des familles infinies et dans ce cas, la réponse à ta question est "oui, c'est possible, mais il faut utiliser l'axiome du choix". <= Faux : pas besoin de l'axiome du choix pour exhiber une famille génératrice (c.f. post çi dessous). C'est uniquement pour exhiber une base qu'il y en a besoin.
Sauf qu'à mon avis, à ton niveau la réponse est "très peu satisfaisante", car :
- L'axiome du choix, ça m'étonnerais que tu sache ce que c'est et c'est assez difficile de faire comprendre à un néophyte les tenant et aboutissement qui résident dans l'acceptation (ou le refus) de ce fameux axiome.
- Vu la définition que tu as eu en cours de ce qu'est une "famille génératrice", je ne suis pas persuadé du tout que tu puisse réellement comprendre ce que ça veut dire dans le cas d'une famille infinie : accepte t-on des sommes infinies ? si oui, qu'est qu'elles veulent dire ? si non, on fait quoi avec notre famille infinie dont on ne prend que des sommes finies ?

(*) Et à mon avis vu le niveau que tu semble avoir, je pense qu'on a du te parler uniquement de ce cas là.
Modifié en dernier par Ben314 le 10 Nov 2017, 00:29, modifié 2 fois.
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Re: Démonstration existence famille génératrice pour tout es

par aviateur » 10 Nov 2017, 00:10

Bonjour
Pourquoi l'existence du famille génératrice semble te poser plus de problème que l'existence d'une base.
A mon sens, l'existence du famille génératrice est évidente mais pour une base beaucoup moins.

aviateur
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Re: Démonstration existence famille génératrice pour tout es

par aviateur » 10 Nov 2017, 00:15

J'ai pas vu ta réponse @ben. Mais quelque soit l'ev=E ( en particulier en dimension infinie) ne peut-on pas dire que la famille E elle même forme un système générateur? (même si la famille n'est risque de ne pas être dénombrable)

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Re: Démonstration existence famille génératrice pour tout es

par Ben314 » 10 Nov 2017, 00:27

Si, effectivement, concernant l'existence de famille génératrice, y'a besoin de rien du tout comme axiome, y compris en dimension infinie.
Mais de toute façon, à mon avis, la définition de ce qu'est une famille génératrice non finie, c'est nettement mieux de ne pas en parler à des débutants en algèbre linéaire (donc d'écrire en cours que "On dit qu'une famille finie G={g1,g2,...,gn} est génératrice de E lorsque ...")
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Gustav
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Re: Démonstration existence famille génératrice pour tout es

par Gustav » 18 Déc 2017, 19:24

D'accord merci à tous

 

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