Demonstration double produit vectoriel

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Anonyme

Demonstration double produit vectoriel

par Anonyme » 24 Sep 2005, 19:25

Bonjour je suis censé démontrer la formule du double produit vectoriel à savoir :

(u*v)*w = (u.w)v - (v.w)u

où u,v et w sont des vecteurs ( logiquement ).
Si u et v sont colinéaires la demonstration est évidente.
Mais si u et v ne le sont pas, alors je pars en considérant P le plan engendré par u et v.

e(1) =u / ||u|| où e(1) est un vecteur
et je définis la BOND (e(1),e(2),e(3))

Dans cette BOND on obtient sans mal la valeur de (u*v)*w mais pour obtenir l'égalité avec le second membre j'ai quelques difficultés.
Pouvez vous m'éclairer je vous prie.
Merci



Zebulon
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par Zebulon » 24 Sep 2005, 19:44

Bonsoir,
c'est une bonne idée d'introduire le plan P mais comme base, je ne crois pas qu'il y ait besoin que ce soit normé. De plus, il vaut mieux commencer par chercher en utilisant ce qu'on a déjà sous la main, c'est le plus simple! Je prends directement (u,v,u*v). C'est une base (car on a supposé u et v linéairement indépendants) et elle est ortogonale directe, par propriété du produit vectoriel. w est un nouveau vecteur; soit w=(a,b,c) dans cette base. Calcule maintenant les deux membres de l'égalité et qu'obtient-on...?
A bientôt,
Zeb.

Anonyme

par Anonyme » 24 Sep 2005, 19:48

En gros ça revient au même étant donné que e(3)=e(1)*e(2)

Ca va paraître bête mais c'est sur l'aspect calculatoire du second membre que je bloque. En fait je pense faire une erreur tellement bête que je n'arrive po à la trouver. Alors si vous pouviez me dire comment vous feriez ce serait sympa.

Merci

Anonyme

par Anonyme » 24 Sep 2005, 19:52

Pércision : dans ma BOND j'ai :

u( ||u|| , 0 , 0 )

v( f , g , 0)

w (a ,b ,c )

pour le premiere membre j'obtiens:

( -bg||u|| , af||u|| , 0 )

Merci

Zebulon
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par Zebulon » 24 Sep 2005, 19:54

Je viens juste de modifier ma réponse précédente.
Pour le membre de droite, u.w=w.u est la composante de w sur u, donc u.w=a;
v.w=w.v est la composante de w sur v, donc -v.w=-b.
C'est bon ou tu as aussi du mal sur l'autre membre?
Zeb.

Anonyme

par Anonyme » 24 Sep 2005, 20:05

D'accord avec toi mais cela signifierait que ta bose soit normée si u*w =a

Pour ma part pour le second membre j'obtiens:

a||u||v - ( af +bg )u où u et v sont deux vecteurs.


Ps: zeb tu fais quoi comme études ?

Anonyme

par Anonyme » 24 Sep 2005, 20:15

C'est bon dsl de vous avoir embêté j'ai trouvé... je suis un cancre
Il suffisait de décomposer v et u dans ma jolie BOND et tt marche correctement.
Merci Zeb pour ton soutien

Zebulon
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par Zebulon » 24 Sep 2005, 21:31

De rien, mais tu pouvais directement utiliser u et v comme base de P, ça me paraissait plus évident et ça évitait de décomposer ces vecteurs dans ta base. Du moment que tu as réussi! Mais tun'es pas un cancre et ça ne m'a pas embêté sinon je n'irais pas sur le site!!!

Zebulon
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par Zebulon » 25 Sep 2005, 10:09

Oups! C'est vrai, cela supposait que ma base était normée! Merci de m'avoir corrigée. De plus v n'est pas orthogonal à u donc ce n'était pas une base orthogonale. Ca arrive d'écrire des bêtises... :briques:
Zeb.

 

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