Démonstration concernant espace vectoriel, ss E.V. et suite

[oxsase97]

Bonjour,
Voici une démonstration ou je ne trouve pas la porte d'entrée pour la résoudre
L'énoncé: Soit V un espace vectoriel de dimension fini et Y: V --> V une application linéaire. Soit les sous espace vectoriel Wk, k=0,1,2,3,.. définis par W0 = V, Wk+1 = Y(Wk), k=0,1,2,3,...
Montrez que la suite (Wk)kcN se stabilise.

Merci d'avance à toutes les bonnes âmes qui passeraient par là Bonne journée

[Elias]

Salut,

Pour tout k, on a bien sûr Wk= f^k(V) où f^k= f rond f rond f .... (k fois)

Y(V) est un sous-espace vectoriel de V et dim (Y(V)) <= dim V
Y(Y(V)) est un sev de Y(V) et dim(Y(Y(V)) <= dim(Y(V))

Etc, donc la suite dim(Wk) est une suite décroissante d entiers donc stationnaire.

A partir d un certain rang, les Wk ont tous la meme dimension zt comme ils sont inclus les uns dans les autres, c est qu ils sont tous égaux..

[oxsase97]

Merci pour la réponse rapide.
Mais si je comprends bien, le "a partir d'un certain rang" c'est déjà depuis le rang W0? Car justement à chaque fois on reprend "l'étape d'avant"? dès le début.