Démonstraion d'un espace vectoriel

[Fantasi0]

Bonjour !
Je dois démontrer que l'ensemble des fonctions sur R du type

[CENTER]f:t -> a*cos(t+b)[/CENTER]

où a et b sont arbitraires, est un espace vectoriel.
Je ne suis pas très habile avec les fonctions trigonométriques, mais à mon avis je dois vérifier un par un les axiomes (commutativité, élément neutre,...) qui font la propriété d'un espace vectoriel. C'est juste ?

Merci d'avance !

[fahr451]

bonjour


ne fais pas ça malheureux

vérifie simplement que c'est un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel de "référence" naturel.

[Fantasi0]

Mais je dois prendre quel espace vectoriel de référence ? après avoir décidé ça, je vérifie que le sous espace vectoriel est stable et qu'il contient 0 ?

[fahr451]

si tu as compris ce qu 'est un vecteur l 'espace "naturel" est l 'espace naturel

réfléchis un peu je t aiderai si nécessaire

[Fantasi0]

Est ce que tu parle de V = R^2 ?

[fahr451]

les vecteurs ici sont les FONCTIONS

l espace naturel est l 'espace des fonctions de R dans R

il est dans ton cours!

[Fantasi0]

Ok ok, je réfléchi vite et pas bien
Alors maintenant je dois vérifier que
1. le s.e.v. n'est pas vide (ce qui est évident)
2. sF et tF
s + tF
(F serait le sous espce vectoriel des fonctions du type f: t -> a*cos(t+b))
3.

Mais j'ai de la peine à démontrer le point 2, je tombe dans des calculs impossible en utilisant la relation : cos(t+b) = cos(t)cos(b)-sin(t)sin(b) pour essayer de retomber sur une équation de la forme a*cos(t+b). Je suis pas sûr de cherche dans la bonne direction...

[fahr451]

moi j 'aurais plutôt développé
pour montrer que f était cbl de deux fonctions à préciser
puis voir ensuite que toute cbl est bien de cette forme

[Fantasi0]

Mais je dois développer quoi ?

On a s + t-> (a*cos(s+b))+(a*cos(t+b)) non ?

[fahr451]

acos( t+b) = ?

c'est une combinaison linéaire de ?

[Fantasi0]

a*cos(t+b) = a*cos(t)cos(b)-a*sin(t)sin(b) comme je disais avant non ?

[Joker62]

Un sinus se transforme facile en cosinus non ???

Ne pas oublier que cos(b) et sin(b) sont des constantes...