Démo

[romain6929]

Bonjour
je voulais savoir comment montrer cette propriété de cours :

a € R et f : R --> R une appli continue en a , on suppose que f(a) > 0 alors :
il existe n>0 , quelque soit x € [a-n, a+n] , f(x)>0

le € c'est un appartient :lol3:
mercii

[Ben314]

Salut.
C'est immédiat par définition d'une limite (en utilisant bien sûr la définition de la continuité en a)

[romain6929]

comme f est continue en a on a :
quelque soit epsilon>0 il existe n>0 , quelque soit x€R |x-a|< n => |f(x)-f(a)|donc f admet une limite au point a , et la limite de f en a vaut f(a)
et donc c bon ?

[Dijkschneier]

[quote]comme f est continue en a on a :
quelque soit epsilon>0 il existe n>0 , quelque soit x€R |x-a| |f(x)-f(a)| 0.
Rappel : |f(x)-f(a)| f(a) - epsilon < f(x) < epsilon + f(a)

[romain6929]

comme f est continue en a on a :
quelque soit epsilon>0 il existe n>0 , quelque soit x€R |x-a|< n => |f(x)-f(a)|donc f admet une limite au point a , et la limite de f en a vaut f(a)
et donc c bon ?

[romain6929]

Désolé je voulais pas poster la meme reponse, je peux plus le supprimer?

[romain6929]

f(a) = epsilon ?

[Dijkschneier]

f(a) = epsilon ?

Oui, epsilon = f(a), par exemple. (Attention, c'est à epsilon que l'on donne la valeur f(a), pas l'inverse).
Et on peut faire ce choix car f(a) > 0, car epsilon doit être nécessairement strictement positif.

[Ben314]

[quote="romain6929"]comme f est continue en a on a :
quelque soit epsilon>0 il existe n>0 , quelque soit x€R |x-a| |f(x)-f(a)|0 sur un certain intervale ]a-n,a+n[ et pour cela, il te faut faire ce que suggère Dijkschneier, c'est à dire utiliser le fait que, vu que la phrase commence par "pour tout epsilon>0", elle est enparticulier vraie lorsque l'on prend epsilon=...

[romain6929]

donc la c correct :

f est continue on a donc :
quelque soit epsilon>0 il existe n>0 , quelque soit x€R |x-a|< n => |f(x)-f(a)|donc f admet une limite au point a , et la limite de f en a vaut f(a)

d'après la définition de la continuité , on a :
|f(x) - f(a)| < epsilon <=> f(a) - epsilon < f(x) < epsilon + f(a)
donc en choisissant epsilon = f(a) on a le résultat f(x) > 0

[romain6929]

Comme f est continue en a on a :
quelque soit epsilon > 0 , il existe n>0, quelque soit x€R |x-a| < n => |f(x)-f(a)| < epsilon car f admet une limite au point a.
on en déduit f(a) - epsilon < f(x) < epsilon + f(a)
x € [a-n, a+n], donc on peut choisir epsilon = f(a) et ainsi f(x) > 0

mais du coup on fait que pour un epsilon en particulier, ca marche pas pour tous ?