Démo par l'absurde

[joq35]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin de votre aide pour comprendre la logique d'une démonstration par l'absurde. Je suis capable de faire une telle démonstration mais quelque chose m'échappe dans la compréhension de la logique de ce type de démonstration, notamment lorsqu'il faut démontrer une implication.

L'objectif de cette démo va être de supposer vrai la négation de la proposition à démontrer et arriver à une contradiction.

On souhaite démontrer que P ⇒ Q par l'absurde.
Cette proposition est, par définition, équivalente à : non P ou Q
La négation de cette proposition est donc : non (non P ou Q) = P et non Q

On suppose que (P et non Q) est vrai. On suppose donc que P est vrai et Q est faux. Les déductions logiques utilisant cette hypothèse vont amener à une contradiction : on peut nommer C cette proposition fausse.

On a donc (P et non Q) ⇒ C, avec C qui est faux.
On nomme 1) la proposition suivante : (P et non Q) ⇒ C

Si la proposition 1) est vraie, comme C est faux, alors nécessairement P et non Q est faux (table de vérité de l'implication). Donc on a gagné.

Mais c'est cette dernière phrase qui me laisse songeur : pourquoi la proposition 1) serait vraie ? Suis-je complètement à côté de la plaque pour la compréhension logique de ce type de démonstration ?

Merci à vous pour votre aide.

Fanch

[GaBuZoMeu]

pourquoi la proposition 1) serait vraie ?

Parce qu'elle a été démontrée :

On suppose que (P et non Q) est vrai. On suppose donc que P est vrai et Q est faux. Les déductions logiques utilisant cette hypothèse vont amener à une contradiction : on peut nommer C cette proposition fausse.

Ne sais tu pas que si on démontre B sous l'hypothèse A, on a une démonstration (sans hypothèse) de "A implique B" ?

[joq35]

Bonjour,

Oui oui je comprend tout à fait cela. Pour démontrer A implique B, on suppose A vrai, et on démontre que B est vrai.
Malgré tout, j'ai du mal à comprendre pourquoi la proposition 1 a été démontrée ici. Tant pis pour moi. ...

[GaBuZoMeu]

Comme tu ne nous dis rien de P, Q et C, comment veux-tu qu'on t'aide à comprendre la démonstration de C sous l'hypothèse (P et non Q) ?
Tant pis pour toi, effectivement ...

[lyceen95]

Souvent, ce qu'on appelle démonstration par l'absurde, c'est plutôt une démonstration de la contraposée
On suppose Non Q ... et on en conclue que Non P

Rigoureusement, on suppose Non-Q et P et on démontre que ceci est impossible. Donc Non-Q et P sont incompatibles, donc si P alors Non-Q n'est pas possible, et donc, si P , alors Q.

Tu introduis C ... qui complique les choses.
En résumé, tu rends les choses inutilement compliquées, et tu dis : oh là là , que c'est compliqué.

[joq35]

Merci à vous deux. Effectivement, c'est plus simple.