Ma démo est-elle bonne ?

[Hannaut]

Bonsoir

Je veux montrer que a <= b et b <= a donne a = b

Démonstration :

Comme a <= b on a par définition (du cours) a - b élément de R_
Comme b <= a on a par définition (du cours) b - a élément de R_
Supposons a différent de b, alors a - b et b - a sont dans R_*, mais alors leur somme aussi, sauf que

(a - b) + (b - a) = 0 contradiction

Ma démo tient la route ?

[Sourire_banane]

Salut,

Bonsoir

Je veux montrer que a <= b et b <= a donne a = b

Démonstration :

Comme a <= b on a par définition (du cours) a - b élément de R_
Comme b <= a on a par définition (du cours) b - a élément de R_
Supposons a différent de b, alors a - b et b - a sont dans R_*, mais alors leur somme aussi, sauf que

(a - b) + (b - a) = 0 contradiction

Ma démo tient la route ?

C'est bien oui

[Hannaut]

Ouais cool :ptdr:

[Archytas]

Ouais cool :ptdr:

sinon t'as a<=b<=a donc b appartient au segment [a;a] = {a} !

[L.A.]

Bonsoir.

Petite remarque, il faut faire attention à ne pas utiliser des propriétés de la relation d'ordre que tu n'aurais pas encore démontrées pour prouver que la somme de deux éléments de R_* est un élément de R_*, sinon ta démo va tourner en rond. Comment est-ce que tu prouves ça, du coup ? et d'ailleurs quelle est ta définition de R_, de R_* ?

[Hannaut]

Bonsoir.

Petite remarque, il faut faire attention à ne pas utiliser des propriétés de la relation d'ordre que tu n'aurais pas encore démontrées pour prouver que la somme de deux éléments de R_* est un élément de R_*, sinon ta démo va tourner en rond. Comment est-ce que tu prouves ça, du coup ? et d'ailleurs quelle est ta définition de R_, de R_* ?

Dans notre cours notre prof nous à dit que R est la réunion de deux sous ensemble, R+ et R_, et qu'il y avait stabilité pour l'addition et la multiplication dans R+
Que {0} est l'intersection de R+ et R_

Si je dis : a - b dans R_ et b - a = - (a - b) dans R_, alors on a a - b dans {0} est bon ? Car le produit d'un nombre négatif par -1 est positif, or seul 0 est positif dans R_

[Ben314]

Dans notre cours notre prof nous à dit que R est la réunion de deux sous ensemble, R+ et R_, et qu'il y avait stabilité pour l'addition et la multiplication dans R+
Que {0} est l'intersection de R+ et R_

Avec uniquement ça comme hypothéses de départ,
1) Qu'est ce qui te prouve que est stable pour l'addition ?
2) Qu'est ce qui te prouve que le produit d'un nombre négatif par -1 est positif ?

Sauf erreur de ma part, si on prend et alors
- est réunion de et
- est stable pour l'addition et la multiplication
-
Mais si on pose ensuite la définition suivante :
Alors l'affirmation est fausse.

Ce qui signifie que, sans autres hypothèses que celle citées çi dessus, tu ne peut pas démontrer que
Pour pouvoir démontrer cette affirmation, il faut une hypothése de plus. Par exemple
- Supposer que est stable par addition (et dans ce cas, la preuve de ton premier post est bonne)
- Supposer que l'opposé de tout élément de est dans (et dans ce cas, ta dernière preuve est bonne)

[Hannaut]

Merci Ben pour ta réponse complète, j'ai regardé mon cours aucune autre hypothèse...
C'est facile de prouver que R_ est stable par addition ?

[Ben314]

Merci Ben pour ta réponse complète, j'ai regardé mon cours aucune autre hypothèse...
C'est facile de prouver que R_ est stable par addition ?

Ce n'est pas vraiment un problème de "difficultée de preuves", mais un problème d'axiomes (mais je ne sais pas si tu sait ce que ça veut dire...)

Dans l'enseignement français, depuis trés longtemps, on ne construit plus l'ensembles des réels, ni au lycée, ni en prépa ou en L1 ou L2.
Et c'est assez normal vu que c'est quand même trés compliqué de définir "proprement" ce qu'est un nombre réel.

Donc la seule solution, c'est d'admettre l'existence d'un ensemble (celui des réels) muni de certaines opérations et/ou relation et d'admettre certaines propriétés concernant ces opération/relations.
Evidement, l'idéal c'est d'admettre le moins de chose possible pour quand même démontrer certains truc et ne pas tout admettre.

Par exemple, le fait que l'addition et la multiplication sont commutatives (i.e AxB=BxA et A+B=B+A), qu'elles sont associatives i.e. Ax(BxC)=(AxB)xC et (A+B)+C=A+(B+C) ) et que la multiplication est distributive sur l'addition (i.e. Ax(B+C)=AxB+AxC) sont admis. Par contre, à l'aide de ces trucs admis, on peut ensuite démontrer que A²-B²=(A-B)(A+B).

Concernant la relation "inférieur ou égal", c'est pareil : il faut commencer par admettre certains résultats pour ensuite démontrer les autres.
Evidement, si on prend comme définition " a<=b ssi a-b est dans R-", ça ne change pas grand chose, il faut admettre certaines propriétés concernant R- pour pouvoir démontrer les autres.

Tout ça pour répondre à ta question de départ : "C'est facile de prouver que R_ est stable par addition ?"
Et bien non, ce n'est pas façile, et même pire que ça, c'est imposssible avec seulement comme hypothèses celle que tu as mis plus haut, à savoir que
- R est la réunion de deux sous ensemble, R+ et R_,
- il y avait stabilité pour l'addition et la multiplication dans R+
- Que {0} est l'intersection de R+ et R_

Comment je sais qu'avec "que ça" c'est impossible de prouver que R- est stable par addition ?
Parce que si avec "que ça" tu arrivait à prouver que R- est stable par addition alors, comme mes ensembles A et B du pos précédent vérifient le "que ça" en question, B devrait lui aussi être stable par addition et... qu'il ne l'est pas...


Donc a mon avis il y a deux possibilités :
- Soit tu as oublié de recopier un des truc que le prof a marqué comme "admis" concernant les ensembles R+ et R-.
- Soit ton prof s'est gourré et n'a pas fait attention qu'il n'avait pas tout à fait admis assez de trucs pour montrer le reste.
De toute façon, ce n'est pas trés grave : il faut bien comprendre que le tout, c'est d'admettre assez de truc pour pouvoir démontrer toute les propriétés "usuelles" de la relation "inférieure ou égale".

Si ça t'interesse, de voir les trucs "classique" concernant ce qu'on admet sur R (quand on ne le construit pas), regarde là

P.S. ça m'interesserait de savoir comment ton prof corrige cet exercice...

[Hannaut]

Je suis en prépa ECS

Je comprends beaucoup mieux
Un axiome c'est une vérité qu'on admet vrai
On a eu notre prof aujourd'hui, et c'était pas un exo il avait dit comme ça de démontrer en utilisant la définition
Alors je lui ai fait part de ce problème de manque d'axiome
- "Monsieur est ce que la somme de deux éléments de R- est un élément de R_ ? car j'ai eu un souci pour montrer que si a <= b et b<= a alors a = b"

- "Oui mais on l'admet, on en a parlé hier"

Bon en fait il avait oublié de le dire que R_ est stable juste pour l'addition
Il m'a dit qu'effectivement c'est un ensemble très compliqué à construire rigoureusement et d'aller faire un petit tour au niveau des coupures de je ne sais plus quel nom ...

[Elizabet]

Bon en fait il avait oublié de le dire que R_ est stable juste pour l'addition
Il m'a dit qu'effectivement c'est un ensemble très compliqué à construire rigoureusement et d'aller faire un petit tour au niveau des coupures de je ne sais plus quel nom ...

Les réels ont plusieurs façons d'être obtenus: à partir des coupures de Dedekind des ensembles ou des suites de Cauchy dans l'analyse :c'est sur wikipedia ...

[Ben314]

coupures de Dedekind
Si tu va plus loin dans cette voie, dit toi bien que c'est uniquement pour "ta culture personnelle" : je pense que ça ne te servira à rien pour les maths que tu fera dans ta prépa. (mais si tu est curieux...)


Edit : grillé par Elizabeth

[Hannaut]

Merci mademoiselle

Comment se prononce DedeKind ?

" Dèdking " ou " DèdKin " ?

[Ben314]

Perso, je prononce "dèdKin", mais vu qu'il était allemand, je sais pas trop comment ça se prononce en allemand...

[Hannaut]

Perso, je prononce "dèdKin", mais vu qu'il était allemand, je sais pas trop comment ça se prononce en allemand...

Merci Ben pour tes réponses :we: