Démo d'algèbre linéaire

[bigourdan]

Bonjour,

Question d'algèbre linéaire:

Il faut démontrer que: Pour toute matrice A complexe de taille n. Si a, b complexes, alors les valeurs propres de aA + bIn sont les scalaires a;)+b où ;) décrit le spectre de A.

Si vous avez des idées, n'hésitez pas, car j'ai l'impression que c'est vraiment facile, mais je suis bloqué.

Merci à vous

[Ben314]

Une valeur propre de , c'est un complexe qui annule
Une valeur propre de , c'est un complexe qui annule
Y'aurais pas un lien entre P et Q ?


P.S. J'aurais tendance à considérer à part le cas (peu interessant) où a=0.

[bigourdan]

Je ne sais pas, ça ne m'aide pas plus.
les questions suivantes sont à peu près identiques:
2) Lorsque A est inversible, les valeurs propres de A^(-1) sont les scalaires 1/;), où ;) décrit le spectre de A.
Pour cela, j'ai démontré ça:
A inversible, ;) valeur propre ==> AX=;)X
X=A(-1);)X=;)A^(-1)==> A^(-1)X=;)^(-1)X=(1/;))X
Donc 1/;) valeur propre de A^(-1).

Si ça peut donner des idées.

[Ben314]

Donc est racine de Q ssi est racine de P.

[Ben314]

On peut effectivement aussi passer par la notion de vecteurs propres comme tu le fait, mais attention à rédiger "proprement" :

A inversible, valeur propre ==> Il existe un vecteur colonne X non nul tel que AX=;)X
X=A(-1);)X=;)A^(-1)X ==> A^(-1)X=;)^(-1)X=(1/;))X pourquoi lambda est-il non nul ? (nécessaire pour diviser par lambda)
Donc 1/;) valeur propre de A^(-1).

[bigourdan]

ok ok merci, oui oui pour la rédaction je n'avais pas tout écrit pout gagner du temps. J'ai bien compris ce que tu as écrit mais comment peut-on rédiger la première question comme la seconde, c'est là où je bloque.

[Ben314]

Exactement de la même façon :
Si ;) est v.p. de A alors il existe un X non nul tel que AX=;)X
donc (aA+bIn)X=a(AX)+b(InX)=a;)X+bX=(a;)+b)X donc a;)+b est une valeur propre de aA+bIn.

[bigourdan]

ok ok je te remercie.
Donc c'est la même chose pour A^k, c'est-à-dire que les valeur propre sont ;)^k:
AX=;)X==>(AX)^k=(;)X)^k==>A(^k)X^k=;)(^k)X^k==>A(^k)X=;)(^k)X donc ;)^k valeur propre de A^k. Avec toute le rédaction qui va avec.

[Ben314]

Non, là, c'est pas bon : A^k c'est une matrice (supposée carré) à la puissance k : O.K., ça marche.
de même ;)^k, c'est un réel à la puissance k, ça marche aussi.
Par contre X^k ou (AX)^k ou (;)X)^k, ça veut rien dire : on ne multiplie pas des vecteurs entre eux.
En fait, il faut faire une récurrence pour montrer que, si AX=;)X alors A^kX=;)^kX (note bien qu'il n'y a pas d'exposants sur le X)

[bigourdan]

ok je te remercie pour toutes ces infos.
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