Demande verification : derivées partielles

[Azuriel]

Voila un exo de dérivée partielle que j'ai fait et j'aimerais savoir si il est boncar j'ai un leger doute..

Soit f defini par (x,y) different de (0,0) f(x,y) = (sin²x+sin²y)/((x²+y²)^1/2)
Et f(0,0)=0

La question est : etudier l'existence de derivées partielles.

Alors j'ai calculer df/dx = ((x²+y²)^1/2) * (sin(2x) - sin²x-sin²y)) et donc en (0,0) c'est bien egale a 0 et donc j'en est conclu que la derivée partielle existée. Par symetrie, celle selon y aussi.

Est ce bon ?

[cesar]

non, c'est incomplet et pas bon. il faut étudier aussi les derivées partielles suivant y et regarder de pres ce qui se passe en 0

[Azuriel]

mais la derivée partielle suivant y ou x est la meme en inversant les lettres par symetrie.
Et la derivée semble simple car des choses se simplifie.. Ou est ce que j'ai faux alors ? (a part qu'apparament il faut que je continue pour les derivées partielles d'ordre 2 c'est cela ?)

[cesar]

prend par exemple la droite y=2x et fait tendre f(x,y) vers le point (0,0) suivant cette droite....le resultat parle de lui meme... la fonction presente une discontinuité...

[Azuriel]

Et est ce que si f une fonction de R² n'est pas continue alors ceci implique qu'elle n'est pas derivable comme sur R ?

[Azuriel]

De tout ici elle est continue en 0. Je vais donc vous faire part de mon calcul pour les derivées partielles.

On est d'accord que A=d(sin²x+sin²y)/dx = 2 cosx sinx = sin (2x)
B=d((x²+y²)^1/2)/dx= 2*1/2*(1/((x²+y²)^1/2))=1/((x²+y²)^1/2

or df/dx = u'v-v'u/v² avec u = sin²x+sin²y , v =(x²+y²)^1/2, u'=A , v'=B et v²=x²+y²

Donc df/dx = Av-Bu/v²

or Av-Bu = (1/((x²+y²)^1/2) * [sin(2x)-(sin²x + sin²y)]

et donc je trouve au final en fait (erreur de calcul de ma part au depart lol)

df/dx = [sin(2x)-(sin²x + sin²y)] /((x²+y²)^3/2)

Il faut donc que je regarde la limite en (0,0) maintenant voir si elle est égale à 0 alors ?

Or je crois bien qe ça tend vers + linfini donc les derivées partielles n'existent pas ?

[Azuriel]

oh oui erreur bete, B = x/((x²+y²)^1/2)
Mais est ce que cela va changer quelque chose au resultat ?
car l bon df/dx est donc :

df/dx = [sin(2x)/((x²+y²)^1/2)] - [(sin²x+sin²y)*x/(x²+y²)^3/2]

Vala, oula je sais pas ce que j'ai aujourd'hui, jespere qu'il ny a plus derreur.

J'ai donc |df/dx| <= |(x^3 +xy²)/((x²+y²)^1/2)| < x*Norme2²/Norme2 = x*Norme 2

Donc tout cela tant vers 0 quand x,y tendent vrs 0 donc en fait si la derivé partielle existe. non ?