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Sake
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Je demande de l'aide

par Sake » 17 Juil 2014, 23:39

Salut,

Quelles méthodes auriez-vous prises pour montrer qu'avec trois complexes a, b, c de module 1 tels que a+b+c=0, on a a²+b²+c²=0 ?

J'ai utilisé une méthode qui n'utilise que des considérations sur les polynômes (donc rien sur les complexes), et vous ?



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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 17 Juil 2014, 23:56

Salut

Avec 3 complexes de module 1 tq a+b+c=0, on a
e^(i alpha) + e^(i beta) = -e^(i gamma)
cos((alpha - beta)/2) = +/- 1/2
alpha - beta = +/- 2pi/3

Pareil par permutation circulaire.
Autrement dit, il existe theta tq a = j e^(i theta), b = j^2 e^(i theta), c = j^3 e^(i theta).

Du coup a²+b²+c² = e^(2i theta) (j²+j^4+j^6) = 0.

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par Sake » 18 Juil 2014, 00:02

Hola Sa Majesté (malin ton pseudo),

j'ai , comment prouver que ?

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par Sa Majesté » 18 Juil 2014, 08:29

De , tu déduis que est un réel donc

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par Sa Majesté » 18 Juil 2014, 08:34

Si tu as d'autres questions, il faudra compter sur un(e) autre car je pars pour une semaine ! :zen:

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par Sake » 18 Juil 2014, 11:21

Oui bien vu, j'ai pas été assez perspicace !

Ah, bad enough, bonnes vacances

adrien69
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par adrien69 » 18 Juil 2014, 12:15

Bad enough ? Ça vient faire quoi ici ?

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par Sake » 18 Juil 2014, 12:24

Même question pour cette intervention inopinée de ta part, jeune ami !

En anglais, ça veut dire "dommage" (entre autre, ce terme est assez vague au demeurant).

PS : J'ai dû me tromper quelque part, car j'arrive avec la conclusion que cette propriété est vraie pour des réels a, b et c tels que a+b+c=0. Ceci n'est pas vrai, mais dans ma démonstration je vois pas où j'aurais pu faire la faute. Du moins, je n'ai pas pris le temps de bien regarder sans doute !

(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)
Puisque a², b², c² et (a+b+c)² sont positifs ou nuls, il faut montrer que car

Je pose . Avec , j'introduis le polynôme dont a, b et c sont les racines.

Alors on a :



c'est-à-dire :



ie : dont on déduit que

PPS : Non je suis bête, on ne peut avoir trois racines distinctes à un polynôme de degré 2, faut que je revoie la démo

adrien69
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par adrien69 » 18 Juil 2014, 12:38

Regarde ma localisation. Si j'ai demandé c'est que ça fait cheveu sur la soupe "bad enough". Je pense que tu as voulu dire "too bad".

adrien69
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par adrien69 » 18 Juil 2014, 12:42

D'une part y a ce problème du nombre de racines, d'autre part tu ne connais pas tes relations coefficients-racines (le terme constant c'est le produit des racines). Donc oui, à refaire (même si j'ai un doute sur le fait que tu aboutisses).

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par Sake » 18 Juil 2014, 12:48

adrien69 a écrit:D'une part y a ce problème du nombre de racines, d'autre part tu ne connais pas tes relations coefficients-racines (le terme constant c'est le produit des racines). Donc oui, à refaire (même si j'ai un doute sur le fait que tu aboutisses).

Calmos l'ami, et d'autre part je suis pretty sure de ce que je dis !

Ouaip, je viens de réintroduire un autre polynôme : mais j'en arrive à une trivialité : b²(a+b+c)=0, ainsi que c²(a+b+c) et a²(a+b+c) ce qui est tout à fait normal.

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par adrien69 » 18 Juil 2014, 12:59

Sinon y a une méthode géométrique si tu veux.

Dire que a+b+c=0 et que |a|=|b|=|c|=1 c'est dire que (quitte à translater) on a un triangle équilatéral.

ça équivaut d'ailleurs à a*a^-1 +b*a^-1 +c*a^-1=0.

Donc on va travailler avec 1,d et e de module 1 tels que 1+d+e=0.

Ça ça veut dire qu'on a un triangle équilatéral avec un côté sur l'axe des abscisses (fais les dessins en lisant).

ça équivaut à arg(d)=pi/3 et arg(e)=2pi/3

(ou 2pi/3 et pi/3)

donc d=exp(i*pi/3), e=exp(2i*pi/3)

Donc 1²+d²+e²=1+e+d=0

Et là en multipliant par a², on retrouve a²+b²+c²=0

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par adrien69 » 18 Juil 2014, 13:02

Sake a écrit:Je pose . Avec , j'introduis le polynôme
dont a, b et c sont les racines.


Quand tu écris ça, je suis personnellement certain que tu ne connais pas les formules. Mais qui les connait ? (sauf pour la somme et le produit bien sûr)

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par Sake » 18 Juil 2014, 13:04

adrien69 a écrit:Quand tu écris ça, je suis personnellement certain que tu ne connais pas les formules. Mais qui les connait ? (sauf pour la somme et le produit bien sûr)

Je parlais de mon anglais, et puis je les connais pour n=2 et n=3. Je m'étais trompé en voulant aller trop vite, confondant la relation polynôme-fonctions caractéristiques pour n=2 et 3. Ca t'arrive aussi de faire des erreurs, non ?

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par adrien69 » 18 Juil 2014, 13:04

Sake a écrit:Calmos l'ami, et d'autre part je suis pretty sure de ce que je dis !

Ouaip, je viens de réintroduire un autre polynôme : mais j'en arrive à une trivialité : b²(a+b+c)=0, ainsi que c²(a+b+c) et a²(a+b+c) ce qui est tout à fait normal.


Je ne sais pas si une méthode polynomiale aboutira perso.

Tu ne peux pas utiliser la géométrie des complexes de cette manière. Et là tu n'as que celle-ci pour t'en sortir.

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par Sake » 18 Juil 2014, 13:07

adrien69 a écrit:Sinon y a une méthode géométrique si tu veux.

Dire que a+b+c=0 et que |a|=|b|=|c|=1 c'est dire que (quitte à translater) on a un triangle équilatéral.

ça équivaut d'ailleurs à a*a^1 +b*a^-a +c*a^-1=0.

Donc on va travailler avec 1,d et e de module 1 tels que 1+d+e=0.

Ça ça veut dire qu'on a un triangle équilatéral avec un côté sur l'axe des abscisses (fais les dessins en lisant).

ça équivaut à arg(d)=pi/3 et arg(e)=2pi/3

(ou 2pi/3 et pi/3)

donc d=exp(i*pi/3), e=exp(2i*pi/3)

Donc 1²+d²+e²=1+e+d=0

Et là en multipliant par a², on retrouve a²+b²+c²=0

Okey merci je vois un peu la méthode, je regarderai tout à l'heure :lol3:
Pour l'instant, MIAM

Bonap à toi, l'anglais !

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par adrien69 » 18 Juil 2014, 13:08

Sake a écrit:Je parlais de mon anglais, et puis je les connais pour n=2 et n=3. Je m'étais trompé en voulant aller trop vite, confondant la relation polynôme-fonctions caractéristiques pour n=2 et 3. Ca t'arrive aussi de faire des erreurs, non ?

Je n'ai jamais dit le contraire. Tu demandes des remarques, je fais des remarques.

Pour l'anglais, http://www.urbandictionary.com/define.php?term=bad+enough

(Et j'habite à Londres par ailleurs)

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par Sake » 18 Juil 2014, 15:37

adrien69 a écrit:(Et j'habite à Londres par ailleurs)

Ah bon ? J'avais pas remarqué !



The urban dictionary c'est pour les termes argotiques de préférence, normal qu'ils n'aient pas ce terme non idiomatique.

http://www.linguee.fr/anglais-francais/ ... nough.html

Voir le premier exemple

adrien69
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par adrien69 » 18 Juil 2014, 18:47

Sake a écrit:http://www.linguee.fr/anglais-francais/ ... nough.html

Voir le premier exemple

Comme tu le fais toi-même remarquer, ça ne fonctionne pas tout seul.

Je vais demander à ma copine. On sera fixés.

adrien69
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par adrien69 » 18 Juil 2014, 20:44

Ça ne se dit pas. Navré.

 

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