Demande D Aide

[LA solution]

BONJOUR TOUT LE MONDE
AIDE MOI SVP A FAIRE CET EXO
EXO:
SOIENT a,b et c des entiers rationnels tels que ab=c^2
montrer que si pgcd(a,b)=1, alors a et b sont des carres dans Z

[LA solution]

voila ce que j ai trouver comme idee
puisque a et b sont premier entre donc d apres Bezout il existe U et V tel q aU+bV=1
EN multipliant les deux membres par b j aurai abU+b^2V=b avec ab=c^2 on a:
c^2U +b^2V=b
Maintenant comment montrer qu il existe x et y tel q: a=x^2 et b=y^2?

[Luc]

BONJOUR TOUT LE MONDE
AIDE MOI SVP A FAIRE CET EXO
EXO:
SOIENT a,b et c des entiers rationnels tels que ab=c^2
montrer que si pgcd(a,b)=1, alors a et b sont des carres dans Z

Bonjour,

- c'est quoi un entier rationnel?
- pense à utiliser la décomposition en facteurs premiers : comment peut on lire sur leur décomposition que a et b sont premiers entre eux?

[LA solution]

la décomposition en facteurs premiers de quoi?

[Luc]

la décomposition en facteurs premiers de quoi?

si vous ne l'avez pas vu en cours, peut-être ton prof attend-il une autre méthode.

Pour savoir ce que c'est, regarde ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9composition_en_produit_de_facteurs_premiers

[LA solution]

oui je connai la décomposition en facteurs premiers
mais j aimerai avoir une idee de quoi je dois decomposer

[Hypatie]

oui je connai la décomposition en facteurs premiers
mais j aimerai avoir une idee de quoi je dois decomposer

Comme te dit Luc tu dois traduire le fait que pgcd(a,b)=1 à l'aide de la décomposition en facteurs premiers donc à ton avis quel(s) entier(s) tu décomposes?

[LA solution]

svp aider moi
je ne comprend pas ce que Luc veut me dire
pour moi de faite que a et b sont premiers entres eux ;ceci me donne comme idee d appliquer le theoreme Bezou et je vois que ca ne me donne rien
si une personne de bonne volontee et de bon coeur peut m aider ca me donnera le courrager de continuer avec la maths

[adrien69]

si une personne de bonne volontee et de bon coeur peut m aider ca me donnera le courrager de continuer avec la maths

Je suis pas sûr d'avoir envie.

[wserdx]

Bezout ne sert à rien en effet pour cet exercice.
Il te faut décomposer a, b, et c en produits de puissances de nombres premiers en toute généralité, puis exprimer les deux contraintes pgcd(a,b)=1 et ab=c^2 et voir les conséquences sur les exposants des nombres premiers qui apparaissent dans les décompositions.

[Luc]

pour moi de faite que a et b sont premiers entres eux ;ceci me donne comme idee d appliquer le theoreme Bezou et je vois que ca ne me donne rien

Ok, Bézout était une bonne idée a priori mais dans cet exercice, non.
Du coup il faut revenir aux définitions: que veut dire que a et b sont premiers entre eux?

[LA solution]

a et b sont premiers entres eux si leurs plus grand diviseur commun est egal a 1

[Luc]

a et b sont premiers entres eux si leurs plus grand diviseur commun est egal a 1

Oui. Que dire alors d'un diviseur premier p de a, différent de 1? Est-ce qu'il divise b?

[LA solution]

un diviseur premier p de a est premier avec b

[Luc]

un diviseur premier p de a est premier avec b

Oui. Maintenant, si p est un diviseur premier de a, essaie de montrer que p^2 divise a.

[LA solution]

merci a tous pour votre generosite
j ai compris maintenant je pourai continuer avec la maths
Voila ce que j ai eu a faire !!!
a=c² ou b=c² c est a dire la decomposition de a et b en prouduit de facteur premier en tenant compte de PGCD(a;b)=1 C est a dire l(t)xl(j)=o ce qui fait l(t)=o ou l(j)=o et remplacant a et b dans ab =c² ce qui donne a=c² ou b=c²

[adrien69]

Magique :ptdr:
Bon allez je vais être gentil et te montrer (presque) pourquoi tu viens de dire n'importe quoi.
9x25=15² pourtant 15² ne vaut ni 9 ni 25

[Luc]

merci a tous pour votre generosite
j ai compris maintenant je pourai continuer avec la maths
Voila ce que j ai eu a faire !!!
a=c² ou b=c² c est a dire la decomposition de a et b en prouduit de facteur premier en tenant compte de PGCD(a;b)=1 C est a dire l(t)xl(j)=o ce qui fait l(t)=o ou l(j)=o et remplacant a et b dans ab =c² ce qui donne a=c² ou b=c²

Il y a de l'idée mais comme l'a dit adrien, c'est faux en général.
L'énoncé te demande juste de montrer que a et b sont des carrés, pas plus.
Pour comprendre l'idée de la preuve, regarde l'exemple 25*9=(15)^2. Les diviseurs premiers de c=15 (3 et 5) se "séparent" : ils sont soit dans a, soit dans b.

[LA solution]

Adrien69
vous voulez me rendre fou ou quoi?
a=produit de p^L(P) lorsque p decrit P ou p est l ensemble des nombre premier et de meme pour b=produit p^f(p) lorsque p decrit P ou P est l ensemble des nombre premier
maintenant ab=produit de p^L(P)+f(P)
on sait que PGCD(a,b)=1 ceci me donne L(P)f(p)=o alors L(P)=0 ou f(p)=0
si L(P)=0 on a.
ab=produit de p^f(P)=b et depuis l hypothese on a ab=c^2=b de meme si f(P)=o

[adrien69]

Adrien69
vous voulez me rendre fou ou quoi?

maintenant ab=produit de p^L(P)+f(P)
on sait que PGCD(a,b)=1 ceci me donne L(P)f(p)=o

Transformer une somme en produit est déjà une erreur. Ensuite ça ne veut absolument pas dire ça pgcd(a,b)=1.

Pour ce qui est de la folie, franchement je ne me prononcerai pas. Sans quoi je serais hors charte.