Delta et differentielle

[magic94220]

Bonjour,

Je souhaiterais connaitre la difference entre: dx, dx/x , d/dx

Je sais deja que dx/x c'est une differentielle, mais pour les 3 autres (ci dessus) je ne comprend pas la difference.

Cordialement

[fatal_error]

salut,

dx, c'est un infinitésimal pour x.

, c'est pour dériver par rapport a x. donc dérivée partielle si ta fonction est a plusieurs variables jor (x,y,z).

c'est la différentielle de la fonction .
En l'occurrence, elle donnerait 0.

[Zavonen]

dx, c'est un infinitésimal pour x.

Problème, qu'est-ce qu'un infinitésimal???
Si c'est un nombre plus petit que tout nombre donné à l'avance c'est 0.
J'ai une autre proposition à faire.
Tout d'abord je renonce à donner un sens à 'dx' dans toutes les situations possibles.
Je vais simplement essayer de donner une définition cohérente pour le calcul différentiel dans les espaces de Banach R^n.
Si f est une application d'une espace E dans un espace F, la dérivée de f ou sa différentielle en X est une application linéaire de E dans F, donc un élément de L(E,F) que l'on note généralement Df(X) ou bien df(X).
Prenons le cas simple où E=R^2 X=(x,y).
Si f est différentiable en X de dérivée Df et si les dérivées partielles respectivement par rapport à x et y sont D1f(X) et D2f(X). On a au premier ordre:
f(x+h,y+k)-f(x,y)=Df(X)(h,k)=D1f(X)h+D2f(X)k+o(h,k)
Essayons de définir dx et dy pour que l'expression usuelle :
Df=D1fdx+D2fdy ait un sens sans la moindre ambigüité.
Remarquons d'abord que dans l'écriture ci-dessus le membre de gauche est une application linéaire alors que les quantités D1f,D2f sont des nombres. Il faut donc que dx et dy soient des applications linéaires (en l'occurrence de R^2 dans R).
On a
f(x+h,y+k)-f(x,y)=D1f(X)dx(h,k)+D2f(X)dy(h,k) +o(....)
On voit donc en comparant les écritures que par nécessité:
dx(h,k)=h
dy(h,k)=k
Ce qui veut dire que dx n'est rien d'autre que la projection (x,y)-->x et que dy n'est rien d'autre que la projection (x,y)--->y, ce sont donc bien des applications (formes) linéaires.
Ainsi dx et dy ont maintenant un sens compatible avec l'écriture synthétique des différentielles au moyen des dérivées partielles.
Mais pour le même prix on a la compatibilité avec la notation de Leibniz dans le cas d'une variable.
En effet que se passe-t-il si f est une fonction de R dans R ?
On a l'écriture de Lagrange et l'écriture de Leibniz:
df(x0)/dx=f'(x0) où sans contestation possible les deux membres sont des nombres.
Dans l'écriture classique 'à la Leibniz' on ne sépare pas df et dx, ils restent ainsi sous forme d'un quotient.
Regardons maintenant l'écriture
df(x0)=f'(x0)dx
en donnant à dx le sens précédent. Remarquons ici que l'application identique x-->x est linéaire et que comme toute application linéaire elle est égale à sa dérivée, de sorte que l'égalité ci-dessus est une égalité explicite entre deux applications linéaires de R dans R. La confusion initiale comme le fait remarquer Jean Dieudonné (fondements de l'analyse moderne) provient du fait que "dans le cas de la dimension 1, l'idée fondamentale du calcul différentiel, à savoir l'approximation locale des fonctions par des applications linéaires, est masquée par le fait accidentel que L(R,R) s'identifie à R".

[Finrod]

les dx, dy ou encore f(x,y)dx + g(x,y)dy sont des formes différentielles. (Ce sont bien des formes linéaires)

Il doit y avoir moyen de trouver un cours de base sur le net. La page wikipedia est peu violente.

[mathelot]

Bonjour,

Je souhaiterais connaitre la difference entre: dx, dx/x , d/dx

Je sais deja que dx/x c'est une differentielle, mais pour les 3 autres (ci dessus) je ne comprend pas la difference.

Cordialement

dx= différentielle comme expliqué plus haut
= différentielle, simplement, sa coordonnée dans la base duale dx
est

opérateur de dérivation linéaire