Définitions concrètes espaces vectoriels

[C245]

Bonjour,

Je suis étudiant en remise à niveau scientifique après avoir obtenu un bac STG. Actuellement, j'étudie les espaces vectoriels. J'aimerais avoir des définitions concrètes de :

- Sous-espaces vectoriels
- Familles génératrices
- Familles libres
- Familles liées
- Base
- Vecteur directeur

Merci d'avance !

[C245]

Je remonte mon topic, n'ayant pas obtenu de réponse.

[Nightmare]

Salut,

c'est assez large comme demande, beaucoup de cours sur internet apporteront des réponses à ces questions. Voici en quelques mots des approches grossières des notions que tu souhaites comprendre :

espace vectoriel : Un espace vectoriel E sur un corps K est un espace sur lequel on peut faire des combinaisons linéaires, c'est à dire additionner entre eux les éléments de E (qu'on appelle les vecteurs) et les multiplier par des éléments de K (qu'on appelle les scalaire).

sous-espace vectoriel : Un sous-espace vectoriel est une partie d'un espace vectoriel qui stable par combinaisons linéaires.

Exemples : L'ensemble des fonctions de R dans R est un R-espace vectoriel : On peut additionner des fonctions entre elles et les multiplier par un nombre réel, avec les définitions suivantes :

Si f et g sont deux fonctions de R dans R et k un nombre réel : f+g est la fonction x->f(x)+g(x) et kf est la fonction x->kf(x).

L'ensemble des fonctions continues de R dans R en est un sous-espace vectoriel, car si f et g sont continues, f+g aussi, et si k est un réel, kf est aussi continue.

famille génératrice : Une famille d'un espace vectorielle est la donnée d'un ensemble de vecteurs de cet espace. Elle est dite génératrice d'un sous-espace vectoriel si tout vecteur de ce sous-espace peut s'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille. On dit alors que le sous-espace vectoriel en question est engendré par la dite famille.

famille liée : Une famille de vecteur est liée si un des vecteurs de cette famille est combinaison linéaire des autres.

base : Une base est une famille à la fois libre et génératrice, c'est à dire qu'avec les vecteurs de cette base, on peut générer tous les vecteurs de l'espace vectoriel par combinaison linéaire, et de plus aucun de ces vecteurs de la base n'est superflu, au sens où aucun n'est déjà combinaison linéaire des autres.

vecteur directeur : Une droite est en géométrie vectorielle un sous-espace vectoriel engendré par un unique vecteur. Ce vecteur est alors appelé vecteur directeur de la droite.

Si tu as des questions, essaye de formuler une demande plus précise.

[Sylviel]

Night t'a fait une présentation à la fois compréhensible et rigoureuse. Je me risque à une présentation encore plus avec les mains (et que j'espère donc plus "intuitive").

Un espace vectoriel c'est la généralisation de la notion d'espace dont tu as l'habitude :
- dimension 1 = une droite
- dimension 2 = un plan
- dimension 3 = l'espace dans lequel on vit
etc...

Un vecteur part toujours de l'origine et te donne une direction (et une longueur et un sens, mais on n'en a pas besoin pour les notions suivantes). Une famille de vecteurs va donc te donner différentes directions. La famille est génératrice si tu peux aller dans tout l'espace avec ces directions. Par exemple si ta famille est inclue dans un plan tu ne peux pas visiter tout l'espace car tu seras coincé dans le plan...
Une famille est libre si les directions ne sont pas redondantes. Par exemple si ton premier vecteur est "à droite", ton second "en avant" alors un vecteur qui fera "en diagonal vers la droite" sera redondant. Il faudrait que le vecteur "monte" ou "descende" pour ne pas être liée (le contraire de libre).
Et finalement une base c'est une famille libre et génératrice : tu peux aller partout et il n'y a pas de redondances.

Bon, pas sûr d'être plus compréhensible.

[Gayinyongombe]

[FONT=Arial]Bonjour, Je suis étudiant en remise à niveau scientifique après avoir obtenu mon diplôme de Graduat il y a déja 7 ans. Actuellement j'étudie la Physique Electricité, J'aimerais avoir la définitions et les explications concrètes de : l'Intégrale, Dérivé et la Limites - Merci d'avance ![/FONT]