Définition d'une sous-variété par immersion

[goupil59]

Bonjour à tous,

Je cherche à montrer le théorème suivant :

Soit un ouvert de , soit de classe et soit tel que f est une immersion en .
Alors, il existe un voisinage de tel que est une n-sous-variété.

J'imagine donc (par analogie avec la preuve de la définition par submersion) qu'il faut partir de la forme normale des immersions :
voisinage ouvert de ,
ouvert contenant ,
voisinage ouvert de 0 et
difféo tels que .
(avec )

Donc, pour , il s'agit de trouver une carte telle que
J'ai bien envie de prendre et , mais pour , je ne sais que prendre...
Parce que, en prenant et , j'ai bien, quelque soit le choix de ,
J'imagine donc que l'inclusion réciproque va dépendre du choix (judicieux) de ...
Mais comment le choisir ?

Merci d'avance pour vos réponses

[goupil59]

Personne ?

J'ai beau retourner le truc dans tous les sens, je ne vois pas comment choisir pour obtenir l'inclusion réciproque.

Pour la première inclusion, c'est facile, quelque soit le choix de :
Si , on a donc et donc
Conclusion :

Mais pour la seconde inclusion :
Si , alors .
Mais pour avoir l'inclusion voulue il faudrait aussi montrer que ...
Là la seule chose que l'on peut dire de plus c'est que ...

[Aispor]

Bonjour à tous,

Je cherche à montrer le théorème suivant :

Soit un ouvert de , soit de classe et soit tel que f est une immersion en .
Alors, il existe un voisinage de tel que est une n-sous-variété.
Merci d'avance pour vos réponses

Salut ! Désolé je pense pas pouvoir faire la preuve ^^ mais juste je me demandais, personnellement dans mon cours on a définie une sous variété comme étant l'image d'un voisinage de a, où f est une immersion en a (et donc dans un voisinage de a car l'immersion est de classe C1) ^^'

[Aispor]

Oups, non j'ai rien dis ^^
Mais à défaut de pouvoir t'aider voici mon cours ^^



Je peux t'envoyer le lien en MP

[goupil59]

Salut,
Merci
En fait, je pense que je suis déjà tombé dessus (ou sur un cours vraiment similaire) en cherchant de (nombreux) poly de géométrie différentielle pour tenter de combler tous les trous laissés dans notre cours...
Mais là le théorème n'est pas formulé pareil que dans mon cours, notamment les hypothèses qui ne sont pas les mêmes (même si j'imagine que ça doit être plus ou moins équivalent). Et si ça tombe en question de cours, c'est la formulation que j'ai indiquée ci-dessus qui sera à prouver .
Mais merci quand même