Definition d'une limite

[Mabrouk18]

Dans la definition d'une limite d'une fonction f ,définie sur un intervalle D, en un réel a, on trouve sur plusieurs livres la forme suivante :
;);) > 0 il existe un réel ;) > 0 tel que pour tout x dans D tel que |x - a| < ;), on ait |f(x) - l| < ;).
(tel que l est la limite de f en a)
Et sur d'autres livres la forme:
;);) > 0 il existe un réel ;) > 0 tel que pour tout x dans D tel que 0<|x - a| < ;), on ait |f(x) - l| < ;)
La première écriture implique que si f est continue en D sauf en a, et que f est définie sur a , alors f n'admet pas de limite en a.Et la deuxième implique que si f n'est pas continue en a , f peut avoir une limite en a.
Quelle est l'écriture juste parmis les deux ?
Merci d'avance.

[arnaud32]

ta premiere definition est la definition de la continuite en

la seconde celle de l'existence d'une limite en a

et en effet f est continue en a ssi elle admet une limite en a et que cette limite est f(a)