Definir série de fourier en Cosinus?

[FanFan72]

Bonjour,

En cours j'ai vu comment transformer une série de fourrier en Cosinus. J'aimerais cependant avoir quelques précisions.

Voici ce que j’ai appris :

3cos(wt+Pi/4)+2sin(2wt)
Ici, deux expression, une en Cos une en Sin.
Pour K = 1 :
A1 = 3
B1 = 0
Alpha (Le déphasage) = Pi/4

Pöur K = 2 :
A2 = 0
B2 = 2
Alpha = ArcTan(-2/0)

Je voudrais savoir si nous calculons le déphasage uniquement lorsque l’expression est en Sinus… Si par exemple nous avons :
3cos(wt )+2sin(2wt)
Est-ce que Alpha 1 = 0 ?

Merci à vous.
(j’espère avoir été assez clair).

[Ben314]

Salut,
J'ai vraiment pas tout bien compris de ton problème...
Lorsque, pour un k fixé tu as une expression qui est une somme de 'cst.cos(k.x+cst)' et de 'cst.sin(k.x+cst)', pour la mettre sous une forme "simple", tu peut :

OU BIEN faire sortir toutes les constantes dans les cos(k.x+cst) et les sin(k.x+cst) en utilisant les formules cas(a+b)=... et sin(a+b)=...
Dans ce cas ton résultat final est : A.cos(k.x)+B.sin(k.x)

OU BIEN chercher à n'avoir que des cosinus (par exemple) et pas de sinus, mais en acceptant d'avoir des constantes dans la parenthèse.
On peut obtenir ce résultat en partant de A.cos(k.x)+B.sin(k.x) et en écrivant les coordonnées polaires de (A,B) A=R.cos(theta) ; B=R.sin(theta) d'où :
A.cos(k.x)+B.sin(k.x)=R[cos(theta)cos(k.x)+sin(theta).sin(k.x)]
=R.cos(k.x-theta)

OU BIEN chercher à n'avoir que des sinus en écrivant que :
R.cos(k.x-theta)=R.sin(pi/2-k.X+theta)


En résumé, par rapport à tes notations, une fois l'expression simplifiée, tu as :
- Soit du A et du B mais pas de "déphasage"
- Soit du A, pas de B et du "déphasage"
- Soit pas de A, du B et du "déphasage"
et, de ces trois formes, c'est TOI qui choisi laquelle te parrait le plus adaptée au contexte.

Un exemple : ton 3.cos(x+pi/4) peut s'écrire :
3.cos(x+pi/4) -> A=3 , B=0 , alpha=pi/4
3.racine(2)/2[cos(x)-sin(x)] -> A=-B=3.racine(2)/2 , alpha=0
3.sin(x+3pi/4) -> A=0 , B=3 , alpha=3pi/4

[FanFan72]

Est-ce qu'il existe un logiciel qui transforme les sinus en cosinus? dans fourier?
Sinon, voici un exemple conret :

x(t) = -3 cos (wt) + sin (3wt)
=-3 cos (2*Pi*F*t) + sin (2*Pi*3F*t)

Pour k = 1
a1 = -3
b1 = 0
Alpha1 = arctan(-0/-3)=0
A1 = Racine(a1²+b1²) = 3
Pour k = 2
a2 = 0
b2 = 0
Alpha2 = arctan(-0/0)=0
A2 = Racine(a2²+b2²) = 0
Pour k = 3
a3 = 0
b3 = 1
Alpha3 = arctan(-1/0)=-Pi/2 CAR Lim de arctan(-1/x) pour x=>0 = -1.57 = -Pi/2
A3 = Racine(a3²+b3²) = 1

Donc :
x(t) = A1*cos(2Pi*F*t+Alpha1)+A2*cos(2Pi*2F*t+Alpha2)+A3*cos(2Pi*3F*t+Alpha3)
x(t) = 3 cos(2Pi*F*t) + 0 + 1 * cos(2Pi*3F*t-(Pi/2))

C'est correct?

[FanFan72]

Y'a rien à faire j'suis seul au monde !
D'après mes cours mes resultats sont juste... Mais bon on est pas à l'abris d'une boulette...

Merci à vous.