Défi 30

par **Imod** » 31 Jan 2007, 20:36

Plus une curiosité qu'un défi . Qui n'a pas rêver de mesurer un angle avec une règle ? Une petite construction d'une grande simplicité et la mesure de l'angle s'affiche sur la règle ( à tester avant de démontrer ) .

Notons

l'angle à mesurer . On place A et C sur [Ox) et [Oy) tels que OA=OC=9cm . On trace (D) la perpendiculaire en O à (OA) et dans le demi-plan de frontière (OA) ne contenant pas C , on place le point B de (D) à 15 cm de O . Pour finir on trace la droite (BC) qui coupe (OA) en M . Montrer qu'en mesurant AM en millimètres on obtient au demi degré près la mesure de l'angle

.

Amusez-vous bien :we:

Imod

par **yos** » 02 Fév 2007, 00:52

Intéressant. Je fais remonter.

par **Imod** » 04 Fév 2007, 03:41

J'ai découvert ce problème dans une revue de bricolage où l'on proposait de mesurer un angle avec un instrument curieux constitué d'un double décimètre , de deux baguettes dont une était articulée autour de

et d'un élastique tendu entre

et

. La valeur choisie pour

était un peu farfelue , compliquée et donnait une précision de l'ordre du degré . En cherchant à comprendre le fonctionnement de cet instrument , j'ai vu que le meilleur choix pour

n'était loin de 15 cm . Maintenant le côté "magique" de la construction ( que ceux qui ne l'ont pas encore faite le fasse ) découle directement de l'étude de la fonction

qui est pratiquement affine sur

( la tracer , c'est impressionnant ) .

Pour ceux qui voudraient faire les calculs , il suffit de considérer les aires des triangles

,

et

.

Imod

par **Imod** » 07 Fév 2007, 01:27

Pas de réaction ?

Imod

par **sandrine_guillerme** » 07 Fév 2007, 13:54

Quel beau défi (j'hallucine)

par **Imod** » 08 Fév 2007, 01:04

Le résultat est magnifique , mais le pourquoi m'échappe toujours . Je donnerai une solution dans quelques jours , si quelqu'un voit d'ici là , une signification simple au phénomène , je suis preneur !

Imod

par **fahr451** » 08 Fév 2007, 01:06

en gros suffit de bricoler avec la trigo

par **Imod** » 08 Fév 2007, 01:16

fahr451 a écrit:en gros suffit de bricoler avec la trigo

Oui , avec une petite étude de fonction le résultat est là , mais il laisse un petit goût amer , pourquoi ?

Imod

par **fahr451** » 08 Fév 2007, 01:17

c était juste histoire de dire que c 'était adapté à la revue

par **Imod** » 08 Fév 2007, 01:25

Le bricolage n'est pas toujours si facile , mais il m'arrive de le pratiquer ( pas toujours avec succès !!! ) .

Imod

par **alben** » 08 Fév 2007, 08:23

Bonjour,

Oui les méthodes numériques sont souvent fascinantes, surtout lorque l'on tombe sur une construction géométrique aussi simple que celle-là.
J'ai le souvenir d'avoir vu quelque chose du même genre il y a moins d'un an, sur futura ?, mais je n'ai pas réussi à retrouver. Il me semble que la construction n'était pas exactement identique, que l'une des longueurs était 14.
NB la fonction sin(x)/x ressemble beaucoup à une branche de cos

Dans un autre ordre d'idée, au cours de vagabondages calculatoires, j'étais tombé sur une méthode permettant de calculer pi avec près d'une dizaine de décimales sans aucune machine ni calculs difficiles. En gros il suffisait de disposer d'un crayon, d'un ticket de métro, d'une place assise et de 4 ou 5 stations...
Le principe consistait à partir de la série de Leibniz, de la calculer sur quelques termes et d'évaluer le reste.
J'ai peu de temps en cette période mais ça ira mieux dans quelques semaines, j'essairai de retrouver ça

par **yos** » 08 Fév 2007, 19:45

Imod a écrit:Maintenant le côté "magique" de la construction découle directement de l'étude de la fonction qui est pratiquement affine sur

Juste une remarque :
prenons

, et plus généralement

. Le développement limité de cette fonction au voisinage de 0 montre qu'il faut prendre a=2 pour faire sauter le terme de degré 2 (et donc s'approcher d'une fonction affine). Mais peut-être qu'il faudrait le regarder au voisinage de pi/2 ou autre chose, et cela légitimerait alors le terme 5/3 ???

Autre possibilité, la dérivée seconde de f doit être le plus proche de 0 possible. Mais je n'ai rien vu qui mène naturellement à a=5/3.

par **Imod** » 09 Fév 2007, 01:23

Le choix 5/3 n'est pas le meilleur possible ( j'avais il y a quelque temps essayé d'étudier le problème ) mais 2 n'est sûrement pas un bon choix . On peut aussi affiner le résultat au détriment de la lecture directe de l'angle sur la règle .

Imod

Ps : si je retrouve la revue qui m'a inspiré , je vous la scanne ( mais j'ai des doutes ) .

par **sandrine_guillerme** » 14 Mar 2007, 20:12

Bonjour,

Je n'est que très très peu de temps ces jours (exam et déménagement)

mais pourquoi ne pas déterrer ce fil magnifique !

Imod ... des nouvelles à propos de ça ?

P.S: c'est vrai qu'on ne te vois plus non plus .. donc ce fil risque d'être perdu dans les archives .. :triste:

par **Joker62** » 14 Mar 2007, 22:49

J'avoue ça laisse assez perplexe :)

J'ai juste vérifier que lorsque A = C et lorsque BOC sont alignés que celà marche bien :)

J'attend la preuve et j'espère la comprendre tant qu'à faire ;)

par **Joker62** » 04 Avr 2007, 18:29

Bon et bien on va faire un truc

up !

par **sandrine_guillerme** » 14 Avr 2007, 19:23

tu sais Joker c'est une bonne idée ... :lol4:

par **serge75** » 16 Avr 2007, 11:50

Et hopla ! (up là ?)

par **sue** » 16 Avr 2007, 13:32

................

par **sandrine_guillerme** » 19 Avr 2007, 13:43

SURPRISE !!!

j'ai posé la question sur un autre forum, j'ai eu une réponse rapide je vous la mes ici telle qu'elle; et on peut en discuter, franchement je suis très contente !

Alors voici la réponse !

Sur ta figure, j'ai projeté

sur

. Je note

le pied de cette hauteur.
Je note

l'angle

dont on veut connaître la mesure en degrés.
Dans les calculs qui suivent, les longueurs seront exprimées en millimètre.

et

alors

Thalès dans les triangles

et

donne l'égalité :

, d'où :

alors

et finalement :

Il y a sans doute moyen d'améliorer cette expression en jonglant avec les formules de trigo usuelles, mais à ce niveau, on peut faire un petit tableau EXCEL pour constater la précision de la méthode.

Il faudrait maintenant faire une étude de la fonction

pour montrer qu'elle ne fait pas de pics inopinés,

NB Pour la petite histoire: {\bf Méthode de Hansi}
Un élève de Quatrième, habitué de ce genre d'oublis m'a montré un jour sa méthode à lui, moins précise que la nôtre, mais plus rapide:

Il prolonge les 2 côtés de l'angle à 60 mm, puis il mesure en mm la base de son triangle isocèle.
L'écart avec la mesure en degrés de l'angle ne dépasse guère 1° tant que l'angle est inférieur à 75°

L'étude théorique de la "méthode de Hansi" est plus facile...

Voilà."

Voilà voilà !

Bonne lecture ! :zen:

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