Defi 14

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
BQss
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Defi 14

par BQss » 05 Jan 2007, 12:26

Salut les gars, j'ai un petit probleme sympa qui melange differentes specialités mathematiques a vous poser, je le trouve sympa et puis il y a rarement des questions sur la theorie de la mesure/proba.

Soit un vecteur aleatoire de la forme :

avec X une variable aleatoire.

Montrer que la matrice est strictement positive si la loi de admet une densité par rapport a la mesure de Lebesgue sur .

Bonne chance.


*Edit: avec l'autorisation de Tize c'est donc le Defi 14



aviateurpilot
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par aviateurpilot » 05 Jan 2007, 16:54

BQss a écrit:Soit un vecteur aleatoire de la forme :

avec X une variable aleatoire.

Montrer que la matrice est strictement positive si la loi de admet une densité par rapport a la mesure de Lebesgue sur .

je ne sais pas
ni une densité par rapport une mesure
ni la mesure de Lebesgue
ni matrice stirctement positive
ni la densité d'une loi

stp, poste un sujet qu'un eleve -qui as passé le 1er semestre en MPSI- peus le comprendre.

sandrine_guillerme
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par sandrine_guillerme » 05 Jan 2007, 17:08

BQss a écrit:j'ai un petit probleme sympa ... je le trouve sympa et puis il y a rarement des questions sur la theorie de la mesure/proba.


ça ne t'as pas trop suffit ceci ? laisse lui se réguir un peu :doh:

Imod
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par Imod » 05 Jan 2007, 17:14

Pour appuyer ce que dit aviateurpilot , il est vrai que le cadre des défis précédents se situaient autant pour l'énoncé que pour la réponse à un niveau au plus L1 , L2 . Le temps que je me remette en tête toutes les notions évoquées par ce problème , j'espère qu'il sera résolu depuis longtemps :we: ( j'ai arrêté mes études il y a plus de 25 ans ) .

Bon courage quand même pour les autres .

Imod

BQss
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par BQss » 05 Jan 2007, 17:14

aviateurpilot a écrit:je ne sais pas
ni une densité par rapport une mesure
ni la mesure de Lebesgue
ni matrice stirctement positive
ni la densité d'une loi

stp, poste un sujet qu'un eleve -qui as passé le 1er semestre en MPSI- peus le comprendre.


1) une densité par rapport a une mesure m, ca veut dire en gros si quand la mesure l d'un ensemble vaut 0 implique que la mesure m du meme ensemble vaut aussi 0, pour tout ensemble possible, tu peux exprimer la mesure m des objets de cet ensemble par une densité par rapport a cette mesure l.
Par exemple la mesure de masse ca admet une densité par rapport a la mesure de volume et tu peux calculer la masse grace a une integrale de la densité sur un volume donnée:

avec


2)La mesure de Lebesgue c'est la mesure de distance si tu veux, donc une densité par rapport a la mesure de Lebesgues c'est une probabilité que tu peux exprimer grace a une densité par rapport a la mesure de distance, tout comme comme en chimie quand tu calcules les spins tu exprimes la probabilité en fonction d'une densité.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure_de_Lebesgue

La mesure de Lebesgues interprete ca donc comme une distance.

3)On parle de matrice definie positive pour des matrice symetrique dans ce cas la on a:
Une Matrice est strictement positive si
x different de 0 et
.
Exemple le produit scalaire est definie positif:
si x different de 0 et ssi
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d%C3%A9finie_positive

4)La densité d'une loi, c'est au programme de terminale S.
Ca concerne les probabilités qu'on exprime grace a une densité, donc qui ont une loi continue. la loi d'une probabilité tu sais ce que c'est, et bien la densité d'une loi c'est ce qui caracterise la probabilité mais dans le cas continue.
Exemple la loi de Gauss par opposition au loi discrete comme la loi binomiale.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_de_probabilit%C3%A9

Dans le cas continue on a:
avec f la densité de la loi de la probabilité P

aviateurpilot
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par aviateurpilot » 05 Jan 2007, 17:18

:doh: :doh:
ok, je vous laisse,
bon chance avec ce défi,
rendez-vous dans le 15eme défi :++:

BQss
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par BQss » 05 Jan 2007, 17:41

Et je rajoute que E(g(x)) ca veut dire l'esperance mathematique de g(x):
avec f(x) une densité de probabilité de la loi P et on a . tout comme on a pour une masse dm en fonction d'un volume infinitesimale dv et d'une densité f.
Pareille pour la pression par rapport a la force si vous voulez:
dF=pdV

BQss
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par BQss » 05 Jan 2007, 17:46

Un indice:
raisonnez par l'absurde.

Imod
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par Imod » 05 Jan 2007, 17:49

Un beau petit programme de révisions que tu proposes là :we: , je vais essayer de m'y mettre ( prière de ne pas m'attendre ) .

Imod

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mathelot
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par mathelot » 05 Jan 2007, 17:50

, qu'est-ce ? la transposée du vecteur x ?

tize
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par tize » 05 Jan 2007, 17:51

BQss a écrit:3)Une Matrice est strictement positive si
x different de 0 et
.
......

C'est bien non ?

yos
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par yos » 05 Jan 2007, 17:57

mathelot a écrit:, qu'est-ce ? la transposée du vecteur x ?

C'est la nouvelle notation. Et donc faut prendre x vecteur colonne.

BQss
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par BQss » 05 Jan 2007, 17:58

mathelot a écrit:, qu'est-ce ? la transposée du vecteur x ?

Oui


= x

=

mais dans la pratique une fois que tu fais ton produit matriciel

tu le mets en vecteur colonne alors que le c'est l'application lineaire correspondante de l'espace duale si tu veux, les coordonnées a l'horizontale comme si c'etait x.

yos
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par yos » 05 Jan 2007, 18:04

Et l'espérance d'une matrice, c'est la matrice des espérances?

BQss
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par BQss » 05 Jan 2007, 18:04

yos a écrit:Et l'espérance d'une matrice, c'est la matrice des espérances?

Oui c'est ca.

tize
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par tize » 05 Jan 2007, 18:23

Juste une petite question, pour être sur d'avoir bien compris les notations,
c'est bien ça ? :hein:

BQss
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par BQss » 05 Jan 2007, 18:28

On a :
qui est une matrice p x p, de coefficient:



x est un vecteur colonne, un vecteur ligne ou application lineaire.
Mais on a pas besoin d'exprimer la matrice de cette maniere normalement, ca se simplifie quand on utilise la propriété a verifier quand a sa positivité.

tize
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par tize » 05 Jan 2007, 18:33

Ok, merci d'avoir confirmé, c'est bien ce que je pensais...je vais me pencher sur la question...

BQss
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par BQss » 05 Jan 2007, 19:01

Je precise juste que l'esperance est lineaire:
donc qu'on a:

pour un quelquonque vecteur non aleatoire.
Ce qui revient a dire que c'est une constante dans l'integrale et qu'il ne depend pas de l'espace des evenements, d'ou la linéarité.







car evidemment si v_i est une constante(une valeure deterministe).

tize
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par tize » 05 Jan 2007, 19:04

avec f est la densité associée à X ( et ).
Soit x un vecteur alors :

 

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