Déduction non comprise

[rifly01]

Bonjour,

Je suis entrain de faire un exercice corrigé et j'ai cette énoncé mais je n'arrive pas a voir comment il en déduit un truc. Voici l'enoncé et sa correction.

Déterminer le noyau de l'application linéaire



soit un polynôme du noyau, il vérifie l'équation
a+a+b+c=0 et donc c=-b-2a
C'est bon juqu'ici

ON EN DEDUIT que P=a(1-2X^2)+b(X-X^2) : Comment il déduit ?

La suite est comprise.

Merci

[mathelot]

Comment il déduit ?

trivialement.

[rifly01]

Hoo, après beaucoup de recherche, je m'en sors à l'aide d'une matrice 3*3



Je lis en colonne ... et j'ai les coeff ...


Mais j'aimerai également comprendre l'autre ... Merci

[rifly01]

C'est trivial : mais je ne le vois pas lol ... c'est justement ca mon prob. Je pense que c'est facile lorsque on dit 'on en déduit' c'est parce que ca découle du résultat d'avant ... mais comment le voir

[nuage]

Salut,
on a

il reste alors a mettre a et b en facteur.

[rifly01]

Merci bien nuage !

J'ai une question : est-ce que la méthode avec les matrices est bonne ?

[buzard]

bonjour,

la méthode que donne nuage est plus simple à comprendre, que ta matrice on ne voit pas d'où tu la sort. Et surtout à quoi elle te sert, il s'agit de simple calculs.


tu as aussi la méthode des faisceaux, plus géométrique.

qu'est-ce que ça veut dire être dans le noyau de l'application linéaire H que tu donne? En terme géométrique (ou espace vectoriel)?

1) P est dans le noyau de H

P(0) + P(1) = 0

c'est à dire P(0) = - P(1)


2) deux éléments remarquables de Ker H

Q = X - X^2 = X(1-X)
Q s'annule en 0 et en 1 donc est bien dans le noyau

R = 1 - 2X^2
R(0) = 1 et R(1) = -1, donc R est bien dans le noyau


3) Q et R sont linéairement indépendant dans R^2[X].

évident (par exemple en 0)


4) si l'on avait un troisième polynôme linéairement indépendant

et ben vu que dim R^2[X]=3, le noyau de H serait donc tout l'espace de départ.
ce qui pose un soucis surtout pour P=1 (constante oui mais polynome de degree au plus 2 quand meme)


donc dim Ker H = 2, et on a deux vecteurs (Q, R) linéairement indépendant qui en forme donc une base, i.e. :

tout P de Ker H, s'écrit P=aQ+bR


voilà une seconde approche, certe plus longue (beaucoup plus), mais plus en accord avec l'esprit EV et EA.