Decomposition unique

par **dilzydils** » 22 Juil 2006, 21:05

Bonjour

Pourquoi est ce que si un vecteur x se decompose de facon unique en x=x1+x2+...+xn où (x1,x2,...,xn) sont dans E1xE2x...xEn, ces derniers etant en somme directe alors x=0 implique x1=x2=...=xn=0??

Merci

par **Chimomo** » 22 Juil 2006, 21:18

J'ai peur de ne pas bien comprendre ta question, pourrais tu préciser ce que tu appelle décomposer un vecteur (selon quoi le décomposes-tu?) et pourquoi x1=...=xn (peut être y a-t-il un =0 aprés).

par **nekros** » 22 Juil 2006, 21:21

Salut,

Je crois que dilzydils fait référence à la somme directe d'où la décomposition unique et d'où le résultat.

Thomas G :zen:

par **dilzydils** » 22 Juil 2006, 21:21

oui merci chimomo
je rectifie dans le 1er post

par **nekros** » 22 Juil 2006, 21:23

Je me trompe dilzydils ?

Thomas G :zen:

par **dilzydils** » 22 Juil 2006, 21:25

Tu as parfaitement raison nekros :zen:

par **Chimomo** » 22 Juil 2006, 21:25

Dans ce cas, il te suffira d'écrire la définition de la somme directe et tu verras.

par **dilzydils** » 22 Juil 2006, 21:31

justement, la definition que j'ai de la somme directe, c'est l'unicité de la decomposition... :triste:

par **nekros** » 22 Juil 2006, 21:31

Ok,

Il suffit alors de connaître l'équivalence :

est directe si et seulement si la seule décomposition de

dans

est

Thomas G :zen:

par **nekros** » 22 Juil 2006, 21:47

Oui c'est vrai, d'autant plus que la démo n'est pas très compliquée.

Thomas G :zen:

par **Chimomo** » 22 Juil 2006, 22:02

Alros vas y, démontre le dilzydils et si tu n'y arrive pas dit nous ce qui te gène.

par **dilzydils** » 23 Juil 2006, 00:49

OK, c'est juste qu'on decompose aussi 0 dans les Ek et comme la decomposition est uniqe, on identifie...
Merci Nekros et chimomo

par **nekros** » 23 Juil 2006, 00:51

nekros a écrit:Ok,

Il suffit alors de connaître l'équivalence :

est directe si et seulement si la seule décomposition de dans est

Thomas G :zen:

Pour la première implication, c'est assez évident.
Supposons que

est directe.
On remarque que

est une somme finie de sous-espaces vectoriels, donc

est un sous-espace vectoriel de

.
Par conséquent

.

Reste à prouver l'implication inverse.

Thomas G :zen:

par **nekros** » 23 Juil 2006, 02:22

Une autre façon de le voir :

Soit

une somme directe.

On considère

une base de

.
On prend

une base de

,

une base de

et ainsi de suite avec

Supposons que l'on ait

avec

,

et ainsi de suite. (remarque : on peut écrire cette somme car on a une somme directe)
D'après l'hypothèse, on a donc

Or, la famille

est une famille libre car c'est une base.
On en déduit donc que

pour tout

et par conséquent,

, ce qu'il fallait démontrer.

Thomas G :zen:

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