Decomposition spectral

[Vlad-Drac]

bonjour.
je ne vois pas comment repondre a cette question.
donner la decomposition spectral de la matrice A
sachant que jai deja donné les sous espace spectrau et les projecteur associé.
je sais que la somme direct des sous espace spectraux vaux E .
que doit je ecrire pour repondre correctement a la question ?

[Vlad-Drac]

bon je réécri l'exercice entier.

soit u lapplic de R3 ds R3 defini par
u(x,y,z) = (2x-y , -x+2y+z , x-y+z)

1) donner la matrice A representatvie de u ds la base
canonique de R3

2)determiner le polynome caracteristique
et le polynome minimal de A

3) donner les ss esp spectraux de A et les projecteur
associé
4)donner la decomposition spectral de A

5)donner une base de R3 ds laquel la matrice representative
de u est de la forme D+N ac D diagonal et N nilpotente

6)determiner A^n pour tt n entier


voila je bloque pour les 4 5 et 6 :(

[Vlad-Drac]

dans un exemple j'ai trouver que la decomposition spectral serai A = aM1 + bM2 + N1 + N2 ou a et b sont des coeficient , M1 M2 les matrice associé aux projecteur et N1 N2 des matrice nilpotente. je sais comment calculer M1 et M2 en revanche pour les N je ne sait pas du tout
personne ne peux m'aider ? :(

[Vlad-Drac]

bon je ne trouvep as mon erreur si kelkun pouvai m'aider a la trouver ..

voila mes reponses:

A=|2 -1 0|
|-1 2 1|
|1 -1 1 |

Polynome caracteristique = (1-x)(x-2)²
Polynome minimal= (1-x)(x-2)²

lambda1 = 1 (valeur propre) mlamdba1 = 1 (multiplicité)
lambda2 = 2 mlabda2 =2

ss espace spectral :
eps i = ker (u- lambda i * I ) ^m lambda i
eps1= ker ( A-I)
eps2= ker(A-2I)²

projecteur spectraux: il suffi de trouver 2 polynome A1 et A2 tel que:
1 = A1P1 + A2P2
1= A1(1-X) + A2(X-2)²
1/[(1-x)(x-2)²] = A1/(x-2)² + A2(1-x)
on decompose en element simple:
1/[(1-x)(x-2)²] = a / (1-x) + b/(x-2) +c/(x-2)²
je trouve a=1 b=1 c=-1

d'ou en remetant au meme denominateur:
1/[(1-x)(x-2)²] = 1/(1-x) + (x-3)/(x-2)²
=> A1 = x-3 A2 = 1

soit Pi1 le projecteur associé a lambda 1
Pi1 = P2 o A2
Pi1 = (x-2)²

Pi2=(x-3)(1-x)

d'ou M1 la matrice associé a Pi1:
M1 = (A-2I)²
M2=(A-3I)(I-A)

on calcule les matrice nilpotente:
Ni=(A-lambda i * I ) * Mi

N1=(A-I)*M1
N2=(A-2I)*M2

a ce moment je trouve bien N1 matrice nilpotente d'ordre 1 ( en fait N1 = 0 ) et N2 matrice nilpotente dordre 2 ( N2²=0)

donc la decomposition spectral de A est :
A=somme de j=1 juska k de ( lambda j * Mj + Nj)
A= M1 + 2M2 + N2

ce qui est faux qd jeffectue le calcule :(

[Vlad-Drac]

personne ? :(