Décomposition de polynômes

[Anonyme]

Bonsoir,
Je ne parviens pas à faire l'exercice d'algèbre suivant ... Pouvez-vous m'y aider? Merci d'avance, et bonne .. nuit!

Décomposer dans le polynôme pour ; en déduire une expression "par radicaux" des nombres pour .

[sirglorfindel]

Déjà pour la décomposition en radicaux des cosinus, il faudra faire une seconde factorisation dans R[X] :
tu décomposes d'abord dans C[X] en voyant que les 2n solutions de l'équation X^(2n)+1 sont les exp((2k+1)i*Pi/2n) pour k de 0 à (2n-1) puis tu regroupes en prenant les n premiers facteurs avec les n derniers (qui en fait sont égaux à exp(-(2k+1)i*Pi/2n)...) et tu obtiens des polynomes de degré 2 avec des cosinus dans les termes de degré 1.
Il ne reste plus qu'à faire la première factorisation de X^(2n)+1