Decomposition Polynomes

[lilano]

Bonjour à tous,

J'ai trouvé un exercice sur la decomposition en polynomes irreductibles, mais comme on en n'a fait tres peu en cours, j'aurais besoin d'un peu d'aide.

Voila l'enonce :


Soit P=somme[(-1)^k)*(X^k)] (somme de k=0 a 2n)

1)Résoudre P(Z)=0
2) En déduire la factorisation de P dans C[X]
3)Conclure quant à la décomposition dans R[X]

1) J'ai remarqué que P etait la somme des termes d'une suite géométrique de raison (-Z). J'en arrive donc a Z^(2n+1)=-1.
Je cherche ensuite les racines dans C et je trouve

Z_k= e^[i((pi/(2n+1))-(2kpi/(2n+1))].

2) Ici je bloque, enfin je crois, comme pour factoriser un polynome normal je trouve :

P(Z)= produit(X-Z_k) (produit de k=1 a 2n+1).

3) Ici je ne vois pas comment revenir à R, je pense qu'il faut trier les valeurs de Z_k et ne prendre que les réelles, mais je n'arrive pas a obtenir résultat.

Voila desole pour l'ecriture des formules mathématiques, j'ai un peu de mal aussi ^^ si vous avez besoin de precision n'hesitez pas !

Merci d'avance

[girdav]

Je suis d'accord avec la factorisation dans . Pour passer à il faut penser à utiliser

[lilano]

Oui je pense que je dois utiliser ceci, mais je n'arrive pas a l'appliquer, car si je comprends bien, j'ai la moitie des racines qui sont complexes, et l'autre moitie c'est leur conjugué ?

Donc je dois me retrouver avec un produit de k=1 a k=(2n+1)/2 ??

[alavacommejetepousse]

bonsoir

il y a 2n+1 racines donc forcément y en a une qui reste toute seule

les autres vont deux par deux : prends les valeurs de k qui donnent une partie imaginaire positive strictement

[lilano]

Je viens de me rendre compte que mon polynome ne pouvait avoir que 2n racines vu qu'il est de degre 2n.

La racine en trop doit etre -1 que j'ai oubliais d'eliminer dans la suite.

Donc dans ce cas, toutes les autres racines vont par deux ?

[alavacommejetepousse]

oui que 2n racines car z= -1 est à retirer parmi les racines 2n+1 de -1( car la raison devait être différente de 1)

[lilano]

Donc j'obtiens un produit de k=1 a k=2n+1 ( et j'ôte k=n).

J'ai donc les racines complexes : Z_k= e^[i((pi/(2n+1))-(2kpi/(2n+1))].

et leurs conjugués Z_kb= e^[-i((pi/(2n+1))-(2kpi/(2n+1))].

Et je n'ai plus qu'a faire le produit des deux avec la relation donné ci dessus c'est exact ?

[alavacommejetepousse]

hum

je redis : prends uniquement les valeurs de k pour avoir une partie imaginaire positive les conjugués seront les autres valeurs de k

[lilano]

euh autant pour moi, j'ai oublié une partie de ta reponse :--: (le soir.. ^^)

donc si j'ai bien compris, j'aurais donc pour k=1 a n-1 les complexes, et de k=n+1 a 2n+1 les conjugués ?

Puisque pour que la partie imaginaire soit positive, il faut que l'argument soit compris entre 0 et pi modulo 2pi.