Décomposition fraction rationnelle

[rebeldelaforai]

Bonjour,

Je dois décomposer la fraction suivante en élément simple dans R(X) :

F(X)=8X/(X²-1)^3

Si quelqu'un peut m'aider

[Carpate]

Bonsoir
Commence par lire un cours sur la décomposition en éléments simples ...
Il y en a plein sur internet.

[Rdvn]

Bonjour,
Un petit coup de pouce pour débuter, peut être :
on décompose x^2 - 1 en produit de polynômes irréductibles :
x^2 - 1 =(x-1).(x+1)
ainsi
f(x) = 8x / ( (x-1)^3.(x+1)^3 )
Puis on observe que f est impaire :
pour tout x de R-{-1,1}
f(-x) = -f(x)
ce qui simplifie beaucoup la recherche
http://gchagny.perso.math.cnrs.fr/Fract ... lesDES.pdf
voir 2.3.3 et 2.3.4
Proposez vos essais

[rebeldelaforai]

Voila ce que j'ai pour l'instant

8x/〖(x^2-1)〗^3 = a/〖(x-1)〗^3 + b/〖(x-1)〗^2 + c/〖(x-1)〗^1 + d/〖(x+1)〗^3 + e/〖(x+1)〗^2 + f/〖(x+1)〗^1
-F(X) =- a/〖(x-1)〗^3 - b/〖(x-1)〗^2 - c/〖(x-1)〗^1 - d/〖(x+1)〗^3 - e/〖(x+1)〗^2 - f/〖(x+1)〗^1
F(-X) = a/〖(-x-1)〗^3 + b/〖(-x-1)〗^2 + c/〖(-x-1)〗^1 + d/〖(-x+1)〗^3 + e/〖(-x+1)〗^2 + f/〖(-x+1)〗^1
Par identification f=c ; e=-b et a=d
En multipliant par 〖(x^2-1)〗^(3 )on sort a = d = 1
8x/〖(x^2-1)〗^3 = 1/〖(x-1)〗^3 + b/〖(x-1)〗^2 + c/〖(x-1)〗^1 + 1/〖(x+1)〗^3 + (-b)/〖(x+1)〗^2 + (-c)/〖(x+1)〗^1

ensuite je bloque pour b et c. le passage a la limite ne m'aide pas

[Rdvn]

Je vais vous répondre en détail, pour le moment rectifiez une erreur : à la fin f=c et non -c

[Rdvn]

f=c et non -c , à rectifier dans la dernière égalité ,
et un détail : (x-1)^1 pourra s'écrire (x-1) sans inconvénient , de même bien sûr pour (x+1).

Une remarque : on part de P(x)/Q(x) avec deg(P) <deg(Q), ce qui justifie l'écriture de début.
Ensuite étudiez lim( x.f(x) ) lorsque x tend vers +infini : cela vous permet de conclure c=0,
Il ne reste plus que b : posez x=2 pour conclure.
a=1 est exact mais me semble être à justifier davantage
A vous

[rebeldelaforai]

Désolé, erreur de frappe et de copier coller.
Je trouve b = -0.5 en faisant le calcul.
Lim xF(x) = 8x²/〖(x^2-1)〗^3 du type 1/x^4 = 0 quand x -> ∞ et donc c = 0.
du coup :
F(X) = 1/〖(x-1)〗^3 + (-1)/〖2(x-1)〗^2 + 1/〖(x+1)〗^3 + 1/〖2(x+1)〗^2
Est-ce exact ?

[Rdvn]

Oui et non, disons que c'est un premier brouillon :
il est indispensable de commencer par prouver c = o AVANT de calculer b
(sinon pour x=2, on a toujours un terme c+c/3 et il faut une autre relation...)
Essayez de mieux justifier lim(x.f(x))=0 quand x -> +∞ :
« du type 1/x^4 » c'est l'idée générale...
et il faut aussi se préoccuper du terme de droite : quelle est sa limite ?
Pour b il faut présenter au moins la première ligne du calcul, pour s'expliquer un peu
Et, à nouveau, il faut en faire plus pour annoncer a=1
Il y a eu des erreurs de copier coller dans le résultat , des « 2 » ont dérapé :

f(x) = 1/(x-1)^3 – (1/2)/(x-1)^2 + 1/(x+1)^3 + (1/2)/(x+1)^2

[rebeldelaforai]

oui bien sur les 2 sont en-dehors des parenthèses.
Ayant fini mes études depuis longtemps, je ne me suis pas attardé sur les calculs car je voulais surtout avoir la méthode de résolution (qui n'était pas dans mes cours).

Merci en tout cas pour votre aide et bonne continuation.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Une variante. Ici, le pôle 1 de la fraction rationnelle est d'ordre 3, ce qui est assez élevé.
Pour calculer la partie polaire relative à un pôle de la fraction rationnelle d'ordre élevé, il peut être commode d'utiliser la division suivant les puissances croissantes.
En posant , la fraction rationnelle devient . On fait alors la division suivant les puissances croissantes de par à l'ordre 2 : .
En divisant le quotient par et en rétablissant , on obtient la partie polaire relative au pôle 1 : .

[Rdvn]

OK , bonne continuation

[Rdvn]

@GaBuZoMeu
Nos messages se sont croisés
avec les deux méthodes rebeldelaforai a, à présent, une révision complète sur ce thème