Soit
Les racines de P étant simples, les coefficients de
Décomposition en éléments simples
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Décomposition en éléments simples
par Charmander » 12 Déc 2014, 20:20
Bonsoir,
Soit
unitaire, 
à racines simples 
. Décomposer en éléments simples dans C la fraction 
Les racines de P étant simples, les coefficients de^2})
sont obtenues facilement. Ce sont les coefficients des éléments de degré 1 qui posent problème: comment les trouver ? J'ai envisagé de décomposer d'abord 1/P (facile) puis diviser par P et redécomposer, mais ça ne mène pas à grand chose. Quelqu'un voit comment faire ? Merci
Soit
Les racines de P étant simples, les coefficients de
par mrif » 13 Déc 2014, 01:20
Charmander a écrit:Bonsoir,
Soit
Les racines de P étant simples, les coefficients de
Une méthode qui est très lourde en calculs consiste à procéder dans un premier tepms comme tu as fait pour le calcul du coefficient de
par Ben314 » 13 Déc 2014, 12:41
Salut,
La théorie te dit effectivement que}=\sum_{k=1}^n\frac{\alpha_k}{(X-a_k)^2}+\sum_{k=1}^n\frac{\beta _k}{X-a_k})
Le calcul des
est simple vu qu'ils donnent la "partie principale" du comportement de la fonction lorsque 
:
^2}{P^2(x)}=\lim_{x\to a_k}\Big(\frac{P(x)-P(a_k)}{x-a_k}\Big)^{-2}=(P'(a_k))^{-2}=\frac{1}{(P'(a_k))^2)
Pour le terme suivant
, c'est à peine plus compliqué vu qu'il il correspond au terme suivant du D.L. de développement limité de ^2}{P^2(x)})
au voisinage de 
:
^2}{P^2(x)}=\alpha_k+\beta_k(x-a_k)+o(x-a_k))
Après, pour trouver le D.L. de=\frac{(x-a_k)^2}{P^2(x)}=\Big(\frac{P(x)-P(a_k)}{x-a_k}\Big)^{-2})
au voisinage de , perso, je partirais de celui de 
:
=P(a_k)+P'(a_k)(x-a_k)+P''(a_k)(x-a_k)^2+o((x-a_k)^2))
avec=0)
et \not=0)
vu que 
est racine simple.
Donc=\Big(P'(a_k)+P''(a_k)(x-a_k)+o(x-a_k)\Big)^{-2}=\cdots)
qui te (re)donne le et qui te donne aussi le
Apérès, avec cette méthode, tu obtient les deux coeffs. et en fonction de )
et de )
ce qui n'est peut être pas ce que tu voulais comme formule "finale" (on pourrait aussi avoir ces coeffs. en fonction uniquement des racines de P par exemple, mais les formules sont plus lourdes...)de
La théorie te dit effectivement que
Le calcul des
Pour le terme suivant
Après, pour trouver le D.L. de
avec
Donc
qui te (re)donne le
Apérès, avec cette méthode, tu obtient les deux coeffs.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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