Décomposition en éléments simple

[Viko]

Bonsoir,

Au détour d'un exerice de SI je suis amené à calculer la transformée de Laplace inverse de la fraction rationelle suivante :



Pour se faire je réalise bien évidement la décomposition en élément simple de , hélas à cause de la racine double on se retrouve avec quelque chose de la forme :



et la méthode que j'ai vu en cours stipule que pour déterminer , et il faut multiplier par leurs dénominateur (par exemple pour déterminer A on multiplie par ) puis on évalue à une certaine valeur de p tel que la quantité par laquel on a multiplié soit nul (ici on prendrait) outre le fait que cette méthode ne soit pas trés "propre" mathématiquement, elle ne fonctionne clairement pas ici ma question est alors faut-il procédés comme au lycée (réduire au même dénominateur puis identifier les coefficients) ou alors il existe une astuce qui m'est inconnu ?

[infernaleur]

Bonsoir,

Au détour d'un exerice de SI je suis amené à calculer la transformée de Laplace inverse de la fraction rationelle suivante :



Pour se faire je réalise bien évidement la décomposition en élément simple de , hélas à cause de la racine double on se retrouve avec quelque chose de la forme :



et la méthode que j'ai vu en cours stipule que pour déterminer , et il faut multiplier par leurs dénominateur (par exemple pour déterminer A on multiplie par ) puis on évalue à une certaine valeur de p tel que la quantité par laquel on a multiplié soit nul (ici on prendrait) outre le fait que cette méthode ne soit pas trés "propre" mathématiquement, elle ne fonctionne clairement pas ici ma question est alors faut-il procédés comme au lycée (réduire au même dénominateur puis identifier les coefficients) ou alors il existe une astuce qui m'est inconnu ?

Salut
la méthode que tu énonce marche ( il me semble) si tu détermine C et B tout d'abord puis tu pourras déterminer A tout à la fin en évaluant en la valeur que tu souhaite il me semble.
Bon c'est vrai que c'est assez calculatoire mais je vois pas d'autre méthode beaucoup plus rapide.

Et quand tu verras en maths les fractions rationnelles tu verras plusieurs autres techniques (comme regarder la parité de la fraction rationnelle par exemple)
Et pour info décomposer en élément simple tu verras que c'est important pour les intégrales aussi.

[Viko]

c'est ce que j'ai fini par faire mais je trouve des valeurs fausses donc si qlq a une méthode plus rapide qui m'évite de reprendre tout les calculs je suis preneur ^^

[Lostounet]

Bonsoir,

Au détour d'un exerice de SI je suis amené à calculer la transformée de Laplace inverse de la fraction rationelle suivante :



Pour se faire je réalise bien évidement la décomposition en élément simple de , hélas à cause de la racine double on se retrouve avec quelque chose de la forme :



?

Salut,
pY(p) est équivalent, quand p tend vers l'infini à -3p^3/p^3 mais aussi ça vaut à la limite A+C

Donc A+C=-3

En multipliant par (p+1)^2 les deux membres puis évaluant en -1:
B=-3*(-3-7+13)=-9

p=0 fournit vite:
39/2=A+B+3C/2

Par substitution:
39=2A-18+3(-3-A)
Donc A=-66
C=63

[aviateur]

Bonsoir
La forme de Y(p) étant correcte voici comment procéder et (ce qu'il vaut mieux éviter)

D'abord, comme tu le dis, si tu réduis au même dénominateur et que tu identifies avec l'expression de départ alors tu te retrouves avec un système d'équations (ici d'inconnues A,B,C). Mathématiquement ça marche mais c'est complètement à éviter car un système c'est pas marrant (et encore ici on n'a que 3 inconnues).

Par contre à faire toujours comme pour le calcul des coefficients B et C (car c'est direct)

*Pour B, multiplier chaque membre par (p+1)^2 et faire p=-1 (où si on veut faire tendre p vers -1)
On obtient alors

Pour C multiplier par (p+2/3) et faire p=-2/3.



Pour les autres coefficients (pour A), cette technique ne marche pas. En effet si on multiplie par (p+1) il y a le terme en 1/(p+1)^2 qui gêne.

Donc maintenant c'est de la petite cuisine mais pas tant que cela . Comme l'a dit @infernaleur on peut utiliser les symétries, parité ...

Mais voyons ici pour le calcul de A. Quand p tend vers l'infini on a .
Avec la forme décomposée on voit que
Donc A+C=-3. Ayant calculé C on obtient A directement

[aviateur]

Encore une fois je m'excuses @lostounet mais je n'ai pas vu ton message.

[Viko]

merci à tout les deux je vais étudier sa en détail ^^