Décomposer

par **Near** » 18 Jan 2010, 23:21

salut :we:
décomposer en facteurs irréductibles dans R[X] et C[X].

la seule chose que je peux faire c'est,

merci.

par **Ben314** » 18 Jan 2010, 23:58

Bonsoir,
Dans ce genre d'exo, il vaut mieux commencer par la décomposition dans

, et donc commencer par chercher les racines complexes de l'équation

(normalement, ça devrait te rappeler quelque chose...)

par **Near** » 19 Jan 2010, 00:14

merci "Ben314".

c'est ça ?
:we:

par **Ben314** » 19 Jan 2010, 00:17

Nickel,
aprés, tu as surement vu comment, connaissant la décomposition dans

, trouver celle dans

Indic : les racines complexes d'un polynôme à coeff réel sont deux à deux...

P.S. : ton " k.i.pi/? " , c'est bien un 6 en bas ? (tu as mis un 5)

par **Near** » 19 Jan 2010, 12:23

Ben314 a écrit:Nickel,
aprés, tu as surement vu comment, connaissant la décomposition dans , trouver celle dans

Indic : les racines complexes d'un polynôme à coeff réel sont deux à deux...

P.S. : ton " k.i.pi/? " , c'est bien un 6 en bas ? (tu as mis un 5)

oui,c'est bien 6. :id:,désolé j'ai mis un 5.
donc,

le reste je sais pas comment faire :triste: .
P.S:désolé pour le retard "Ben314".
merci beaucoup. :we:

par **Ben314** » 19 Jan 2010, 13:09

Si ça t'amuse (et pour ta culture), une décomposition de ce polynôme dans

est par contre trés nettement plus compliquée à obtenir (les facteurs sont des "polynômes cyclotomiques"...)

par **yos** » 19 Jan 2010, 15:46

Tu peux aussi écrire

et poursuivre sachant que

se factorise aussi bien que

.

par **Near** » 19 Jan 2010, 15:49

merci beaucoup "Yos" et "Ben314".
:we:
une question: est-ce qu'on peut généraliser la factorisation de

.
merci.

par **Ben314** » 19 Jan 2010, 16:02

Parfaitement,
Si tu regarde la méthode "commençons par décomposer dans C", tu peut constater que le 12 pourrait être remplacé par n'importe quelle valeur entière, et que le 1 peut être remplacé par n'importe quel réel.
Par contre la méthode proposée par Yos (tout aussi valable pour n=12) ne se généralise pas super façilement à n quelconque (c'est là qu'apparaissent les fameux polynômes cyclotomiques)...

par **yos** » 19 Jan 2010, 17:31

La méthode que je propose donne en deux ou trois étapes :

.

Autrement dit

.
Il y a des chances pour que la facilité d'obtention de la factorisation ci-dessus soit liée à la facilité de calcul des

.

Ainsi, avec d'autres exposants, la méthode précédente coince mais le calcul des

peut être pénible (quoique toujours faisable il est vrai).

par **yos** » 19 Jan 2010, 17:36

Near a écrit:est-ce qu'on peut généraliser la factorisation de .

Pour n impair,

. Pour n pair une racine n-ème de -1 dans C fera le même effet, mais si on est dans C, on utilisera plutôt toutes les racines n-ème de -1 :

.

par **Ben314** » 19 Jan 2010, 17:38

Near a écrit:
le reste je sais pas comment faire :triste: .

Oupps, ça fait bien trois fois que je survole ton post et que je lis "le reste je sais faire" alors qu'il sagit d'une négation...

Bon, pour le moment, cela te donne la décomposition dans

, pour en déduire celle dans

, il est bien entendu inutile de modifier les termes de la forme (X-?) où ? est réel, et, pour les autres, il suffit de redévelopper les produits de la forme (X-z1)(X-z2) avec z1 et z2 non réels et conjugués l'un de l'autre.
On vérifie sans peine que ce produit donne bien un polynôme à coefficients réels.

par **Near** » 19 Jan 2010, 21:45

merci beaucoup "Ben314" et "Yos".
je veux comprendre ce que tu m'as dit "Ben314" avec

.

avec cette idée :"un polynôme de degré 4 sans racines réelles se décompose en facteurs de degré 2".
j'ai arrivé à ;

c'est bon ça ?
merci.

par **Ben314** » 19 Jan 2010, 22:02

Je suis pas sûr à 100% car je me rapelle plus combien vaut cos(2pi/5).
Pour moi, le plus général, c'est d'écrire :

Puis de regrouper les termes correspondant à des racines conjuguées dans

:

par **Near** » 19 Jan 2010, 22:08

Ben314 a écrit:Je suis pas sûr à 100% car je me rapelle plus combien vaut cos(2pi/5).
Pour moi, le plus général, c'est d'écrire :

Puis de regrouper les termes correspondant à des racines conjuguées dans :

merci bien "Ben314" :we: :we:

.

par **Near** » 19 Jan 2010, 22:38

Ben314 a écrit:Je suis pas sûr à 100% car je me rapelle plus combien vaut cos(2pi/5).
Pour moi, le plus général, c'est d'écrire :

Puis de regrouper les termes correspondant à des racines conjuguées dans :

merci beaucoup "Ben314" mais je sais pas vraiment comment tu as obtenu ces résultats,

.
j'ai du peut être savoir ça,mais.. :triste:
merci.

par **Ben314** » 19 Jan 2010, 23:07

Tu peut développe normalement : (X-a)(X-b)=X²-(a+b)X+ab
Puis, si b est le conjugué de a, alors a+b=2Ré(a) et ab=|a|² qui sont bien tout les deux réels.

par **Ericovitchi** » 19 Jan 2010, 23:13

Ho yes :

par **Ben314** » 19 Jan 2010, 23:16

Ericovitchi a écrit:Ho yes :

Oui, mais ça c'est la décomposition en irréductibles de Q[X], le dernier est réductible dans R[X] (c'est surtout pour Near qu je le signale...)

par **Near** » 19 Jan 2010, 23:19

Ben314 a écrit:Tu peut développe normalement : (X-a)(X-b)=X²-(a+b)X+ab
Puis, si b est le conjugué de a, alors a+b=2Ré(a) et ab=|a|² qui sont bien tout les deux réels.

Grand merci pour toi "Ben314" :id: .je garde ça et je refais le problème.
:we: :we:

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