Décimales d'un rationnel

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit x un nombre rationnel positif non décimal on pose avec a et b entiers premiers entre eux.

On définit par récurrence 2 suites d'entiers naturels (dn) et (rn) tel que :
d0 et r0 sont le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.
d(n+1) et r(n+1) sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 10r(n) par b.

On a : et

rn est le reste de la division euclidienne de par b.

On rappelle la propriété : x=a/b est décimal si et seulement si il existe alpha et beta entiers naturels tel que :

1/ Démontrer que parmi les nombres au moins 2 d'entre eux sont congrus modulo b.

Je sais pas par où commencer : mes nombres sont 10^0 , 10, ..., 10^(b-1) mais ces nombres correspondent à x, a ou b ?

Merci

[Viko]

Attention ces nombres ne sont ni x ni b se sont simplement des nombres et il faut montrer que deux d'entre eux sont congrus modulo b oú b est le dénominateur de l'écriture fractionnaire du nombre rationel non décimal x (donc )

[zygomatique]

salut

considère les restes de la division euclidienne des 10^k par b pour 0 =< k < b

sachant que b possède un facteur premier p différent de 2 et de 5 (puisque x est rationnel non décimal)

... ce me semble-t-il ...

[mehdi-128]

salut

considère les restes de la division euclidienne des 10^k par b pour 0 =< k < b

sachant que b possède un facteur premier p différent de 2 et de 5 (puisque x est rationnel non décimal)

... ce me semble-t-il ...

Pour k = 0 : et

Pour k=1 comment faire ?

[mehdi-128]

En combinant j'ai trouvé l'équation suivante :

donc r1 est le reste de la division euclidienne de 10 par b.

De même : donc r2 est le reste de la division euclidienne de 100 par b.

Donc les b restes de la division des 10^k avec k entre 0 et b-1 sont dans [1,b-1] donc au moins 2 des restes sont égaux car card([1,b-1])=b-1

Donc au moins 2 nombres des 10^k sont congrus modulo b.