Début série de Taylor

[GaBuZoMeu]

Il suffit d'appliquer la définition pour démontrer que la famille vide d'éléments d'un espace vectoriel est libre.
Soit la famille vide d'éléments de .
Pour toute famille vide de scalaires telle que , on a bien, pour tout , .
Pas d'accord, tournesol ? Tu peux me montrer une combinaison linéaire nulle des vecteurs de la famille vide avec un coefficient non nul ?

Une forme 0-linéaire alternée ? C'est une fonction à valeurs scalaires qui a 0 argument : donc une constante. Et n'importe quelle constante fait l'affaire, puisqu'elle est linéaire en chaque argument et s'annule chaque fois que deux arguments sont égaux.
Dans l'algèbre extérieure , on a bien , le corps des scalaires.

[tournesol]

Le terme est il défini ou n'est ce qu'un pseudo terme ?
Le terme me pose déjà problème car l'image de la partie vide dans toute correspondance est vide .Pour les mêmes raisons , leur somme est probablement vide .
est vrai (il n'y a qu'un ensemble de cardinal 0)
Ce qui suit ( ) est vrai
Donc la famille vide est libre ? c'est bien cela?
J'ai l'impression de marcher sur un fil ...

[GaBuZoMeu]

Je ne sais pas ce qu'est un "pseudo terme"

"car l'image de la partie vide dans toute correspondance est vide". Oui, et alors ?
est une fonction de dans , de dans . Tu sais ce qu'est la fonction , n'est-ce pas ? C'est la fonction définie par pour tout . Ici est l'ensemble vide ; où est le problème ?

On a bien sûr : une somme indexée par une famille vide est zéro., même python sait cela (essaie sum([]), et tu verras).

Et oui, la famille vide est libre. C'est tout de même rassurant, sinon on serait bien embêté avec l'assertion "toute sous-famille d'une famille libre est libre".

"J'ai l'impression de marcher sur un fil "
N'aie pas peur, le fil est solide et fait trois mètres de large.

[tournesol]

pour pseudo terme : ,
python n'est pas un ouvrage de mathematiques .
attribuer 0 a une somme vide ne releve pas d'une définition mais d'une convention (la definition devrait s'appliquer en cas d'absence de neutre)
Si on applique la definition par image de la partie vide , le resultat d'une operation sur zéro terme est vide .
je viens de réaliser que vide =0 n'est vrai que si le zéro est celui de Z .

[GaBuZoMeu]

Et voila, tu avais fait quelques pas sur le "fil" et tu fais demi-tour par peur du vide, alors qu'il n'y a rien à craindre, je t'assure.

est un terme parfaitement bien formé.

La définition de somme indexée par une famille finie dans un monoïde abélien est donnée chez Bourbaki. Elle commence par : somme égale à l'élément neutre du monoïde pour la famille vide, et puis après par récurrence sur le nombre d'élément de la famille. C'est bien la seule définition raisonnable pour avoir , où désigne la réunion disjointe (fais dans cette égalité).

" le resultat d'une opération sur zéro terme est vide" : aucun sens.

[tournesol]

Merci pour Bourbaki , ça me rajeunit .
Tant que le magma n'est qu'associatif , Bourbaki suppose que l'ensemble d'indices A est non vide .
Lorsqu'il devient commutatif et unitaire , il pose par definition qu'un composé d'une famille vide est égal à l'élément neutre afin de conserver les propriétés des formules sommatoires .
Quand il n'y a pas de neutre l'ensemble des indices est non vide(je me répète ... non, j'insiste)
Quand je dis que le composé de 0 terme est vide , c'est parceque je le détermine comme image de la partie vide par la correspondance (E×E , E , G) . Je suis conscient que n'étant pas un élément de E , la loi n'est plus interne et que donc cette approche ne mène à rien.

[GaBuZoMeu]

Je suis conscient que n'étant pas un élément de E , la loi n'est plus interne et que donc cette approche ne mène à rien.

Ce n'est pas que ça mène à rien, c'est que ça n'a pas de sens ("ça", c'est "le composé de 0 terme est vide"). "je le détermine comme image de la partie vide par la correspondance (E×E , E , G)" ??? Quelle est l'image d'une partie à 12 éléments par cette correspondance ??? .
Ce qui fait sens, c'est l'homomorphisme de monoïdes où est le monoïde libre engendré par . L'image du mot vide par cet homomorphisme n'est pas l'ensemble vide, mais le 0 de .

[tournesol]

Merci pour tes lumières .
L'absence de termes est modélisée par le mot vide , et son "composé" , image par le morphisme, est le neutre de E . Magnifique .

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir. Mais tu sais, ça n'a rien de sorcier. Une fois qu'on a passé l'obstacle psychologique du vide, on voit sans peine que tout se déroule bien.

Ce qui est embêtant, c'est que même des auteurs de manuel ont cette peur du vide et la transmettent ainsi aux étudiants. Je pense par exemple au manuel d'algèbre linéaire de Grifone où il est écrit que "Tout espace vectoriel de dimension finie différent de l'espace vectoriel nul a une base". Si on infuse ainsi aux étudiant que le vide c'est très très compliqué et qu'il faut absolument le traiter à part, bien sûr cette peur du vide a toutes les chances de se perpétuer.

C'est marrant de voir que l'infini actuel ne fait plus peur maintenant, mais que l'ensemble vide, si.

[tournesol]

Je n'ai moi même jamais reçu l'aspect juridique de la culture du vide , c'est à dire celle qui se demande si ce border line vérifie les lois , définitions , formules et théorèmes , et dans la négative , par quelles modélisations astucieuses on peut l'y contraindre .
Ma culture du vide se résume à ses utilisations classiques en topologie et théorie de la mesure (tribus) , ou dans quelques démonstrations par l'absurde dans lesquelles on suppose qu'il existe ...et une anecdote:
Dieu créa le nombre entier , le reste est l'œuvre de l'homme (Kronecker) , la théorie des ensembles aussi:
, , [tex]\{Je n'ai moi même jamais reçu l'aspect juridique de la culture du vide , c'est à dire celle qui se demande si ce border line vérifie les lois , définitions , formules et théorèmes , et dans la négative , par quelles modélisations astucieuses on peut l'y contraindre .
Ma culture du vide se résume à ses utilisations classiques en topologie et théorie de la mesure (tribus) , ou dans quelques démonstrations par l'absurde dans lesquelles on suppose qu'il existe ...et une anecdote:
Dieu créa le nombre entier , le reste est l'œuvre de l'homme (Kronecker) , la théorie des ensembles aussi:

[tournesol]

, , ...

[GaBuZoMeu]

Je n'ai moi même jamais reçu l'aspect juridique de la culture du vide , c'est à dire celle qui se demande si ce border line vérifie les lois , définitions , formules et théorèmes , et dans la négative , par quelles modélisations astucieuses on peut l'y contraindre .

Aucune loi d'exception pour l'ensemble vide : il s'accommode très bien de la loi commune.
Je rappelle que toute cette discussion est partie de la remarque anodine que 0! = 1 et que ça découle de la définition de la factorielle : le produit de la famille vide dans le monoïde est l'élément neutre 1 ; et il y a une unique permutation de l'ensemble vide.

[tournesol]

ça découle aussi de la relation de recurrence : (n+1)!=(n+1)n! , associée à 1!=1 .
Encore un grand merci à toi pour tes explications .