Dans un lycée...

par **Nightmare** » 13 Juin 2009, 16:10

Salut à tous :happy3:

Voici un exercice de ma composition, je ne sais pas ce qu'il vaut, je vous le soumets.

On considère un lycée où est enseigné en terminale n matières. Le lycée comporte m classes de terminale (on ne considère pas les sections).

Le directeur a aussi fait en sorte que si l'on prend deux classes quelconques, le nombre de matière à la fois enseignée dans l'une et dans l'autre est toujours le même.

(Autrement dit, si on voit les classes comme des ensembles de matières, toutes les intersections de deux classes sont non vides et ont le même cardinal)

Montrer qu'alors il y a forcément moins de classes de terminales qu'il n'y a de matières enseignées

Bon courage.

:happy3:

par **Matt_01** » 13 Juin 2009, 16:49

Salut !

Pourquoi "non vides" ?
Elles ont nécessairement une matière en commun ?

par **Nightmare** » 13 Juin 2009, 16:52

Oui, c'est bien ça.

par **Ericovitchi** » 13 Juin 2009, 16:58

J'y suis presque mais j'ai un problème pour conclure :

J'ai considéré qu'une classe pouvait être représenté par un k uplet du genre {1,0,0,1,1, .... } le 1 voulant dire que l'on enseigne la matière dans la classe et zéro on ne l'enseigne pas.
On sait que la somme des 1 vaut k pour chaque classe.
imaginons la matrice m,n chaque ligne étant le k uplet de la classe
il y a m lignes et n colonnes et la somme de chaque ligne vaut k
La somme de tous les 1 du tableau est mk
Mais dans chaque colonne, il y a au moins un 1 (car si la matière n'était enseignée nulle part, elle ne serait pas compté) donc la somme de 1 du tableau est aussi supérieure à n

Et donc j'ai mk > n > k

par **Matt_01** » 13 Juin 2009, 17:09

On ne dit pas que toutes les classes ont le même nombre de matières !

par **Ericovitchi** » 13 Juin 2009, 17:11

ha oui tu as raison, j'avais mal traduit

le nombre de matière à la fois enseignée dans l'une et dans l'autre est toujours le même

, le "à la fois" change tout.

je vais reprendre mes cogitations. effectivement mes calculs sont faux.

par **Ericovitchi** » 13 Juin 2009, 17:18

Donc si je reprend mon idée de matrice m,n, l'énoncé dit que si on prend deux lignes quelconques, le nombre de fois où les deux lignes auront des 1 au même endroit est toujours égal (à k)

Si je prend la première ligne.
elle va générer k 1 dans chaque ligne et donc mk dans la matrice dont la somme des 1 vaut donc mk.
je retrouve bien mk>n mais après ??

par **Matt_01** » 13 Juin 2009, 17:26

Ou dire que

est un entier positif constant quelque soit

et

représentant deux classes

par **Ericovitchi** » 13 Juin 2009, 17:28

oui et c'est même toujours le même entier.

mais il y a un moment ou il faut additionner les 1 en colonne pour pouvoir challenger m et n

par **Ericovitchi** » 13 Juin 2009, 17:45

j'ai essayé autre chose:
Si on calcule

Dans ce produit, si deux vecteurs sont différents leur produit donne k (et il y en a m(m-1)) et quand le vecteur se multiplie avec lui-même, ça donne la somme de ses 1 et donc quand on les somme tous, on trouve le nombre de 1 de la matrice donc mk
Et donc le produit ci-dessus vaut

et il est aussi inférieur à mn
donc [TEX]m^2k km donc n > m

C'est valable ça comme raisonnement ?

par **Matt_01** » 13 Juin 2009, 17:58

Je dirais que le produit vaut :

avec

le nombre de matière dans la classe

.

Il est donc majoré par

c'est tout.

par **Nightmare** » 14 Juin 2009, 01:29

L'idée est bonne mais vous ne considérez pas le bon tableau.

Prenez plutôt la matrice M=(aij) où aij=1 si la j-ème matière est enseignée dans la i-ème classe et 0 sinon.

par **Matt_01** » 14 Juin 2009, 01:34

Merci de l'indication, j'y réflechis dans mon sommeil :dodo:
(Il doit tout de même manquer une indication, si toutes les classes ont les mêmes n matières, on peut créer une infinité de classe)

par **Nightmare** » 14 Juin 2009, 01:55

Oui, les classes doivent être deux à deux distinctes (en terme de matière)

par **Nightmare** » 14 Juin 2009, 18:21

Et bien je suis content de cet exercice pas si facile que ça finalement :lol3:

Ce qui suit est une indication, ne pas lire si vous voulez chercher :

En considérant la matrice M définie par moi même à 1h29, l'idée va être de montrer que

, la conclusion est alors immédiate.

par **Nightmare** » 17 Juin 2009, 16:16

Désirez-vous une correction?

par **ffpower** » 17 Juin 2009, 19:13

j ai bien une solution,mais j ai eu un peu la flemme de la poster,c est qu il faut ecrire les matrices et tout ca..mais en gros voila le plan:je prend la meme matrice que toi,sauf que je complete avec des 0 pour la rendre carré(ce qui revient a considerer qu il existe des matieres enseignees nulle part),M*transposé(M) est alors constitué de k partout sauf sur la diagonale ou les coeff sont strictement plus grand que k.Je montre que cette matrice est inversible soit en calculant le determinant (hurwitz),soit en montrant directement que le noyau est nul, ce qui contredit l existence de lignes nulles(ou colonnes je sais plus^^)
Sinon,l exo était effectivement sympa,j aime bien les applications d algebre lineaire..

par **Nightmare** » 17 Juin 2009, 19:19

Salut :happy3:

Ta solution doit marcher, cela dit je ne pense pas que ce soit utile de rajouter des 0. En prenant ma matrice M,

est carrée d'ordre m. Comme tu l'as fait pour ta matrice, on peut montrer de manière astucieuse que son noyau est réduit à {0}.

De ce fait

:happy3:

par **ffpower** » 17 Juin 2009, 19:37

oui probablement en effet.Mais j aime pas les matrices non carrees lol

par **ffpower** » 17 Juin 2009, 19:48

Au fait,connais tu d autres exos du genre par hasard?les seuls que je connais,c est:
-le probleme des caillous:
"Soit 2n+1 caillous,tels que si on retire n importe quel caillou,on peut séparer les 2n restant en 2 tas de caillous de meme masse totale.Montrer que tous les caillous ont meme masse"

-et le theoreme du politicien:
"Si on a un groupe de personnes tels que si on choisit 2 personnes quelconques,elles ont un et un seul ami commun dans le groupe(on considere que l amitié est symetrique et que personne n est son propre ami),alors il y a dans le groupe un "politicien" qui est l ami de tout le monde"

Voila,c est les 2 seuls exos du genre que je connais(+ le tien maintenant^^),et c est dommage car je trouve ce genre d exercice vraiment amusant..

Dans un lycée...

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