Critère diagonalisabilité

[Robot]

??

:triste:

Avec ça on peut voir sous les hypothèses et que et n'ont pas de racine commune, et donc que n'a que des racines simples.
Maintenant, l'autre méthode est très astucieuse. Si tu l'as trouvée toi-même, félicitations !

[ilikoko123]

j'ignore ce qui ne va pas avec mes determinants :(
en tout cas merci pour l'aide et pour la longue discussion je vous suis reconnaissant :D

[ilikoko123]

remarquez que ce topic a atteint le top des nombres d'affichages :D

[anouai]

Moi je comprends pas ce que vous avez dit robot
P_n=(2X+a+b)P_{n-1}-(X+a)(X+b)P_{n-2} et ab\neq 0 et a\neq b => P_n et P_{n-1} n'ont pas de racine commune => P_n n'a que des racines simples
D'où vient ces implications
Je n ai compris nî la 1er ni la 2em implication

[anouai]

Pour la 2eme méthode
J ai calculé det(M+xU) j ai trouvé
det(M+xU)=cx+d (avec c et d dependent de n)
Ce det ne donne acune condition sur la diagonalisation de M ?!

[Robot]

j'ignore ce qui ne va pas avec mes determinants
en tout cas merci pour l'aide et pour la longue discussion je vous suis reconnaissant

L'obtention de la relation de récurrence est pourtant très simple. On part de la matrice . On soustrait la deuxième ligne de la première puis la deuxième colonne de la première. La première ligne a ses deux premiers coefficients et les autres sont nuls. On développe le déterminant suivant la première ligne. On a d'une part fois le déterminant de , d'autre part fois le déterminant d'une matrice dont la première colonne a pour premier coefficient et tous les autres coefficients nuls. Ce dernier déterminant est donc fois le déterminant de . En remettant tout ensemble,
pour . Pour les deux premiers, et .
Pour conclure, sous l'hypothèse et :
1°) Montrer que et . (Indication : pour , .)
2°) Montrer que, pour , si est racine de et , alors est aussi racine de . En déduire que et n'ont pas de racine commune.
3°) Montrer que et en déduire que est diagonalisable sur .

[anouai]

La première question on la montre pas une récurence
C est facile
Pour La deuxième question
pour n>1 si c est racine de P_n et P_{n-1}, alors P_n(c)=(2c+a+b)P_{n-1}(c)-(c+a)(c+b)P_{n-2}(c) alors P_{n-2}(c)=0
Mais comment peut on déduire que P_n et P_{n-1} n'ont pas de racine commune.

[ilikoko123]

parfait :) pourtant j'aimerais allonger cette discussion en disant que ce n'est qu'une condition suffisante

[ilikoko123]

L'obtention de la relation de récurrence est pourtant très simple. On part de la matrice . On soustrait la deuxième ligne de la première puis la deuxième colonne de la première. La première ligne a ses deux premiers coefficients et les autres sont nuls. On développe le déterminant suivant la première ligne. On a d'une part fois le déterminant de , d'autre part fois le déterminant d'une matrice dont la première colonne a pour premier coefficient et tous les autres coefficients nuls. Ce dernier déterminant est donc fois le déterminant de . En remettant tout ensemble,
pour . Pour les deux premiers, et .
Pour conclure, sous l'hypothèse et :
1°) Montrer que et . (Indication : pour , .)
2°) Montrer que, pour , si est racine de et , alors est aussi racine de . En déduire que et n'ont pas de racine commune.
3°) Montrer que et en déduire que est diagonalisable sur .

Parfait pourtant il me parait que toutes les méthodes ne montrent qu'une condition suffisante :p

[ilikoko123]

La première question on la montre pas une récurence
C est facile
Pour La deuxième question
pour n\geq 2, si c est racine de P_n et P_{n-1}, alors P_n(c)=(2c+a+b)P_{n-1}(c)-(c+a)(c+b)P_{n-2}(c) alors P_{n-2}(c)=0
Mais comment peut on déduire que P_n et P_{n-1} n'ont pas de racine commune.

Recurence ,, Pn et Pn-1 n'ont pas de racines communes implique que Pn+1 et Pn n'ont pas de racines communes , sinon Pn-1 aura aussi cette racine commune selon la question precedente mais l'heredite assure que Pn et Pn-1 n'ont pas de racines communes ..!

[Lostounet]

Bonjour,

Maintenant, l'autre méthode est très astucieuse. Si tu l'as trouvée toi-même, félicitations !

A vrai dire je ne comprends pas comment ils dénombrent le nombre de termes nuls/non nuls dans les 2^n termes dans ce corrigé que j'ai trouvé sur le net:



2^n termes ok car chaque colonne va donner 2 déterminants à chaque fois. Et les (n + 1) termes non nuls alors? Pour moi c'est plutot n. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer?

Et pour tes 3 questions Robot, je réfléchis.

[ilikoko123]

Tu préfère te diriger vers exo7 et négliger nos post pour des raisons que j'ignore, tu pourrait demander tout simplement pourquoi la fonction est affine et la réponse et très simple et DEJA mentionnée dans un post avant sans recourir aux puissances de 2 :p

[ilikoko123]

Bonjour,



A vrai dire je ne comprends pas comment ils dénombrent le nombre de termes nuls/non nuls dans les 2^n termes dans ce corrigé que j'ai trouvé sur le net:



2^n termes ok car chaque colonne va donner 2 déterminants à chaque fois. Et les (n + 1) termes non nuls alors? Pour moi c'est plutot n. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer?

Et pour tes 3 questions Robot, je réfléchis.

Tu préfère te diriger vers exo7 et négliger nos post pour des raisons que j'ignore, tu pourrait demander tout simplement pourquoi la fonction est affine et la réponse et très simple et DEJA mentionnée dans un post avant sans recourir aux puissances de 2 :p

[Lostounet]

J'ai lu chaque post de la discussion mais je souhaite quand même comprendre si tu pouvais m'expliquer ce passage qui est très en lien avec la méthode que tu proposes (c'est pour cela que je post à la suite). Sans opérations sur les lignes.

[Robot]

Parfait pourtant il me parait que toutes les méthodes ne montrent qu'une condition suffisante :p

Que veux-tu dire ? Condition suffisante pour quoi ? Exprime-toi plus clairement.

[Robot]

Bonjour,
2^n termes ok car chaque colonne va donner 2 déterminants à chaque fois. Et les (n + 1) termes non nuls alors? Pour moi c'est plutot n. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer?

On utilise la multilinéarité du déterminant (le "linéarité" du corrigé est assez malheureux), disons par rapport aux colonnes, en écrivant chaque colonne comme somme d'une colonne de la matrice de départ et d'une colonne constituée uniquement de .
Quand on développe, on obtient déterminants. Tous ceux qui comportent plus d'une colonne de sont nuls. Ne restent que le déterminant de la matrice de départ, et les déterminants qui ont chacun une et une seule colonne de .

[ilikoko123]

Oué avec plaisir, le determinant est une forme n lineaire et pour mieux comprendre elle peut etre vue d'un coté comme une application n lineaire de l'espace Mn,1 vers R , la variable dedans n'est que les colonnes du determinant qu'on calcule , ces colonnes comme tu peux remarquer peuvent etre la somme de deux collones , l'une des deux ne contient que des x , et puisque le det est n lineaire et apres qu'on decompose chaque collone ainsi ca devient une histoire de denombrement pour trouver combiens de fois on trouver un n uplet ( de colonnes ) ou la colonne en x se repete deux fois

[ilikoko123]

14:49 avec un decalage de quelques secondes :D

[ilikoko123]

L'exercice demande une condition suffisante et necessaire sur a rt b pour que la matrice soit diagonalisable , faut montrer que si la matrice est diagonalisable alors ab est non nul et a est different de b , ie : le fait que le polynome caractéristique n'admet que des racines simples n'est pas une condition necessaire

[Kolis]

L'exercice demande une condition suffisante et necessaire sur a rt b pour que la matrice soit diagonalisable , faut montrer que si la matrice est diagonalisable alors ab est non nul et a est different de b , ie : le fait que le polynome caractéristique n'admet que des racines simples n'est pas une condition necessaire

Bonsoir !
La formule de récurrence donnée par Robot hier à 22h43 permet (par la méthode des suites récurrentes doubles) d'expliciter .
L'équation caractéristique admet les racines distinctes si et la racine double si .
Donc, si on a soit et, si , soit .

pas de problème pour diagonaliser si .

Supposons . On note de sorte que . dirige l'espace propre associé à la valeur propre simple (c'est d'ailleurs évident).

Maintenant, donc on a une base d'un espace de dimension associé à la valeur propre .

..... il y a un bug : j'ai écrit "valeur propre -a " et je vois apparaître f(x)=x^2...