Critère diagonalisabilité

par **ilikoko123** » 03 Nov 2015, 19:23

salut à tous
je voudrais que vous m'aidiez à propos d'un exercice qui demande une condition necessaire et suffisante pour que la matrice
(0 a a a ...... a)
(b 0 a a ...... a)
(b b 0 a ...... a)
(b..b..0 a .....a)
.
(b...........b 0 a)
(b b b ...... b 0)
soit diagonalisable
merci :)
ps : 0 sur la diagonale , des a au dessus , des b au dessous :lol3:

par **ilikoko123** » 03 Nov 2015, 19:24

cns sur a,b dans C

par **ilikoko123** » 03 Nov 2015, 23:07

hého ya personne ici :p

par **Robot** » 03 Nov 2015, 23:20

As-tu regardé les cas où la dimension est 2 ou 3 ?

par **ilikoko123** » 03 Nov 2015, 23:37

nous écartons d'abord le cas ou les deux sont nuls,sinon c'est nul et c'est diagonalisable
pour le cas n=2 il faut que les deux soient non nul et ça marche
enfin dans le cas general si l'un est nul et l'autre non nul ça ne sera pas diagonalisable
il faut montrer que les deux non nul est une condition suffisante pour la diagonalisabilité

par **ilikoko123** » 04 Nov 2015, 00:22

comment procéder ?
la recurrence ne me semble pas pratique

par **Robot** » 04 Nov 2015, 09:44

ilikoko123 a écrit:pour le cas n=2 il faut que les deux soient non nul et ça marche

Non. Si les deux sont nuls, la matrice est diagonalisable.
Je ne vois pas que tu aies traité le cas n=3.

par **ilikoko123** » 04 Nov 2015, 13:24

vous n'avez certainement pas prêté attention à ma première phrase

par **Robot** » 04 Nov 2015, 13:59

OK, au temps pour moi.
Mais je ne vois toujours rien sur n=3.

par **ilikoko123** » 04 Nov 2015, 17:26

Hmm. n=3
Le polynome caracteristique s'écrit X^3 -3abX -a^2b - b^2a
:hein:

par **Robot** » 04 Nov 2015, 18:08

Voui. Et alors ?

par **ilikoko123** » 04 Nov 2015, 22:06

ab#0 ==> ce polynome et scindé à racines simples car c'est une condition suffisante pour la diagonalisabilité

par **Robot** » 04 Nov 2015, 22:15

ilikoko123 a écrit:ab#0 ==> ce polynome et scindé à racines simples car c'est une condition suffisante pour la diagonalisabilité

Tu as vérifié ? Tu peux m'expliquer pourquoi le polynôme est scindé à racines simples ?

par **ilikoko123** » 04 Nov 2015, 22:21

en étudiant la fonction polynomiale sur R on trouve qu'elle admet une unique racine
les deux autres sont complexes conjugués

par **Robot** » 04 Nov 2015, 22:46

ilikoko123 a écrit:en étudiant la fonction polynomiale sur R on trouve qu'elle admet une unique racine
les deux autres sont complexes conjugués

Par exemple pour a=b ?

par **ilikoko123** » 04 Nov 2015, 22:57

sa dérivée est

ça s'annule pour deux valeurs, si on calcule le polynome en la première racine (-a), c'est néatif , le tableau de variations montre qu'il y a une seule racine

par **ilikoko123** » 04 Nov 2015, 22:59

peut on surpasser ce mode n=3 ? ça me parait terminé
comment peut on exploiter cela pour la taille n ?
le calcule du polynome caractériqtique est fastidieux

par **ilikoko123** » 04 Nov 2015, 23:10

désolé il me parait que mon calcul est chiant
le -a est une racine double
et alors ? il faut qu'ils soient différents

par **Robot** » 04 Nov 2015, 23:20

Si tu mettais un peu d'ordre dans ce que tu racontes ?
n=3 ne me semble pas du tout terminé !

par **ilikoko123** » 04 Nov 2015, 23:42

avez vous une altérnative ?

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