Critère diagonalisabilité

[Robot]

Tu jettes l'éponge pour n=3 ?

[ilikoko123]

malheureusement :/

[ilikoko123]

Bon.
Si a#b c'est clos
Si a=b on peut ecrire la matrice ainsi : M=a-a
On a donc rg(M+aI)=1 d'ou dim ker(M+aI)=2 , ça prouve que la dimension du sous espace propre associé à -a est de dimension egale a la multiplicite de -a dans le polynome caractéristique et puis nous avons la diagonalisabilite ,ai je raison ?

[Robot]

Bon.
Si a#b c'est clos

Tu as peut-être un argument pour ça, mais je n'en ai rien vu. Pourquoi c'est clos ?

Si a=b on peut ecrire la matrice ainsi : M=a-a
On a donc rg(M+aI)=1 d'ou dim ker(M+aI)=2 , ça prouve que la dimension du sous espace propre associé à -a est de dimension egale a la multiplicite de -a dans le polynome caractéristique et puis nous avons la diagonalisabilite ,ai je raison ?

Ca, OK. On peut généraliser ce résultat à la dimension n quelconque.

[ilikoko123]

mais j'écrit sans réfléchir ! on ne peut pas étudier une fonction contenant deux termes complexes (a et b) sur R , là je suis vexé

[ilikoko123]

même la méthode de cardan ne prend en compte que les équations a coefficients réels

[Robot]

mais j'écrit sans réfléchir !

Ca, c'est un grand tort !

on ne peut pas étudier une fonction contenant deux termes complexes (a et b) sur R , là je suis vexé

Tu te vexes facilement !

Une suggestion : tu as calculé le polynôme caractéristique. Pourquoi n'essaies-tu pas de montrer que toutes ses racines (complexes) sont simples, sous les hypothèse et ? Ca peut se faire en montrant que le polynôme caractéristique est premier avec son polynôme dérivé (par exemple, en calculant un pgcd).

[Robot]

même la méthode de cardan ne prend en compte que les équations a coefficients réels

Ben non, voyons !

[ilikoko123]

effectivement si on pose P le pgcd du polynome et de sa dérivée on trouve que P divise et en faisant la différence et puisque et non nul on trouve le PGCD = 1
je voudrais juste vous demander d'ou des idées pareilles vous arrivent à l'esprit :fan: (ce pgcd par exemple)

[Robot]

J'ai triché en calculant le discriminant. :lol3:

[ilikoko123]

huh un discriminant de taille 3 !
malheureusement on n'a pas encore terminé

[Robot]

Eh oui, il y a des discriminants pour des polynômes de n'importe quel degré.
Il serait peut-être intéressant maintenant de s'intéresser au polynôme caractéristique pour la matrice de taille .
On a

Au fait, vois-tu une relation entre et ?

[Kolis]

Encore une lecture "rapide" : Robot parlait de "discriminant", ta remarque laisse entendre que tu as compris "déterminant"...

[ilikoko123]

Encore une lecture "rapide" : Robot parlait de "discriminant", ta remarque laisse entendre que tu as compris "déterminant"...

bah non je parlais du discriminant de l'equation de troisième degré ( ce "taille 3" était un simple raccourcis capable de créé des malentendus )

[ilikoko123]

oué en fait si on démontre que alors le chemin de récurrence apparait en supposant que est scindé à racines simple , et en montrons que l'est aussi

[Robot]

Prends le temps de bien réfléchir.

[ilikoko123]

ok :D ......

[ilikoko123]

c'est embarrassant j'arrive pas a grand chose , en effet j'ai essayé d'exploiter j 'ai supposé que Pn-1 est à racines simples ( sans parler de scindé car on est dans C) et puis je n'ai pu montrer que le fait que tous les racines de Pn ont une multiplicité au plus deux
une autre approche m'a apparu c'est de montrer que par recurence sur n , mais j'ai pas pu faire apparaitre comme combinaison de Pn et Pn-1 pour conclure :hum: je suis sur qu'une étape intéressante m’échappe

[ilikoko123]

:help: ....

[Robot]

Peux-tu calculer ?