Critère de d'Alembert ?

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 23:24

Salut salut !

Je prends une suite réelle u de signe quelconque, qui converge vers 0 et telle que

avec

.

Cette sorte de critère de d'Alembert pour les suites d'un signe quelconque assure-t-il forcément la convergence?

:happy3:

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 23:26

... de la série de terme général (un) évidemment :lol3:

par **ffpower** » 01 Déc 2009, 23:27

Le critere de D Alembert des séries alternées lol

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 23:29

Si

pour tout n, il y a p.b.
Bon je penche pour une "faute de frappe" :zen:
P.S. j'ai (évidement) pas lu le "qui tend vers 0"......

par **ffpower** » 01 Déc 2009, 23:31

Ah oui, c est vrai qu'il manque une certaine hypothese^^

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 23:32

Ben314 a écrit:Si pour tout n, il y a p.b.
Bon je penche pour une "faute de frappe" :zen:

Pourquoi? Dans ce cas c'est le critère des séries alternées !

P-S : j'avais pas vu ton P-S :lol3:

par **ffpower** » 01 Déc 2009, 23:54

Faut que (u_n) soit decroissante en valeur absolue quand même,non?
Edit:ok j ai rien dit^^

par **Nightmare** » 02 Déc 2009, 00:12

Je précise que je ne sais pas si le résultat est vrai, mais je n'arrive pas à trouver de contre exemple.

par **ffpower** » 02 Déc 2009, 00:40

J ai quand même envie de dire que ca marche ton truc, mais j ai un peu de mal a l ecrire...

par **Nightmare** » 02 Déc 2009, 00:54

Je crois bien que ça marche.

voici comment je vois les choses.

Si la suite est de signe constant à partir d'un certain rang, c'est clair. Sinon, disons qu'on écrire la suite ainsi :

où 1 indicé est un nombre positif et (-1) indicé un nombre négatif. (ie on voit la suite comme : une séquence de nombre positif, puis séquence suite de nombre négatif, puis une séquence de nombre positif et ainsi de suite ).

Je prends la suite composé des premiers termes de chaque séquence. Elle vérifie le critère des séries alternées et donc convergente. On fait pareil avec les deuxièmes termes, etc...

Problème, rien ne justifie ce miraculeux groupement de terme.

par **ffpower** » 02 Déc 2009, 00:58

J'essaie d'exploiter moi aussi cette idée de paquets positifs et paquets négatifs ( que faire d autre de toute facon^^). Mais il se fait tard, donc j'y reréfléchirai demain. Sur ce, bonne nuit Night..

par **Nightmare** » 02 Déc 2009, 01:00

Pour ma part je vais y réfléchir encore sinon ça va me miner cette nuit :lol3:

Bonne nuit à toi !

par **Nightmare** » 02 Déc 2009, 01:57

Dernière idée avant d'aller au lit.

Je pense qu'on a pas fait le bon groupement. On prend comme on a dit les premiers termes de chaque paquet et après on considère la suite des nombres restants (et non pas la suite des deuxième, puis la suite des troisièmes, etc..). Cette suite vérifie en valeur absolue le critère de d'Alembert ...

Il me semble que ce groupement en deux paquets permet de conclure quant à la convergence de la série.

par **Doraki** » 02 Déc 2009, 09:28

J'aurais regroupé les sous-séquences de signe alterné.

si -1 <= u(n+1)/un <= 0 pour n allant de m à m+p,
alors la somme de uk pour k allant de m à m+p+1 reste toujours en valeur absolue inférieure ou égale à |um|.
Le paquet suivant démarre à u(m+p+2).
Et |u(m+p+2)| <= x * |um|, etc.

par **ffpower** » 02 Déc 2009, 20:20

Doraki, j'avais essayé un truc du genre et ca marche p-e, mais ya probablement un probleme avec les paquets de longueur 1. Du coup faut que tu vires certains termes au final. Donc quitte a devoir séparer la somme en 2, la solution de Nightmare est plus simple..

par **Doraki** » 02 Déc 2009, 21:27

Je vois pas le problème avec les paquets de longueur 1.
La suite des premiers termes de chaque paquet est au pire géométrique de raison x, et les sommes partielles à l'intérieur d'un paquet sont majorées par le premier terme du paquet.

par **Ben314** » 03 Déc 2009, 15:10

Je suis d'accord avec nightmare :
La sous-suite des termes dont le précédent n'est pas de même signe donne une série c.v.(par d'alembert) et la sous-suite formée de tout les autres donne une série absolument c.v. (il y a au moins une division par x pour passer d'un terme au suivant).
Il n'y a plus qu'a couper en 2 les sommes partielles de la série de départ pour conclure.

par **Ben314** » 04 Déc 2009, 00:30

En réfléchissant un peu, (comme quoi ca sert des fois),
je suis aussi d'accord avec la méthode doraki....

(...faut jamais vexer personne...)

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