Création matrice de rang 2

[raphmzz]

Bonsoir,

Enoncé :

a) Inventer une matrice de M4(R) non triviale de rang 2.
b) Calculez la comatrice de A
c) Vérifiez que la comatrice de A soit de rang 1

Voilà mon problème ; après plusieurs tâtonnements j'ai fini par trouver une matrice de rang 2 à savoir
1, 3, -6, 9,
3, 2, -18, 6,
-1, 5, 6, 15,
4, 0, -24, 0,
mais une fois à la question b) je trouve un déterminant nul donc je ne peux pas faire sa comatrice vu que ce n'est pas inversible...

Avez-vous une idée pour que je puisse trouver une matrice de rang 2 dont résultera une comatrice de rang 1 svp ? (hors tâtonnement si une méthode existe)

Merci d'avance

[pascal16]

M pas de rang 4 <=> Det(M)=0

la comatrice est composée des déterminants de la matrice M privée d'une ligne et d'un colonne (tu as du voir le terme "mineur" dans ton cours + le signe à modifier).
Il ne sont pas tous nuls, sinon M ne serait pas de rang 2<<<<<<----- après test, non, a priori ta comatrice est bien nulle et ta matrice est bien de rang 2.

[pascal16]

le premier est det de
2, -18, 6,
5, 6, 15,
0, -24, 0,

[Lostounet]

mais une fois à la question b) je trouve un déterminant nul donc je ne peux pas faire sa comatrice vu que ce n'est pas inversible...

Tu confonds peut-être avec la formule qui dit que l'inverse de A = t(com(A))/det(A) valable quand det (A) est non nul.
Cela dit... si det A=0 ..A^(-1) n'existe pas déjà mais la comatrice si ! Revois donc la définition de la comatrice (et éventuellement les théorèmes qui parlent du rang des " blocs extraits " de la matrice...)

Après comment as-tu montré /vérifié que ta matrice est bien de rang 2?

[pascal16]

Matrice 4*4 de rang 2
-> si les vecteurs colonnes sont liés 2 à 2
en enlevant 1 colonnes, il y aura toujours 2 colonnes de liées donc la comatrice sera la matrice nulle
-> si le ssev engendrés par M sont de taille 2, idem (sauf erreur de ma part).

si M est 4x4, être de rang 2 impose une comatrice nulle

sol -> M de taille 3x3 !

[Ben314]

Salut,

a) Inventer une matrice de M4(R) non triviale de rang 2.
b) Calculez la comatrice de A
c) Vérifiez que la comatrice de A soit de rang 1

J'ai plus que des doutes :
1) Concernant le fait qu'en français on puisse écrire (ou dire) "Vérifier que truc soit quelque chose" : soit, c'est le subjonctif du verbe être et bien que je sache plus trop ce que ça signifie (*)..., je sais que ça s'emploie pas comme ça un subjonctif (i.e. que ta phrase c'est du "petit nègre")
2) Concernant le fait que ta comatrice est de rang 1 : elle va évidement être entièrement nulle vu le rang de A.

(*) Mais bon, moi la dernière fois que j'ai fait du Français, c'était il y a 40 ans...

[raphmzz]

Bonjour,

Merci pour vos réponses !

Je me suis en effet mélangé les pinceaux avec mes propriétés et définitions pour ce qui est de la faisabilité de la comatrice...

Lostounet --> Pour voir si ma matrice était bien de rang 2 je l'ai échelonné pour trouver son image puis j'ai utilisé la propriété qui dit que rang(A)=dimension de l'image de A. (je sais pas si j'ai employé les bons termes mathématiques).

J'ai bien calculé la matrice et trouvé qu'elle était nul, donc de rang 0 ?

Ben314 -> en effet l'énoncé était "Vérifier que la comatrice de A est bien de rang 1" chose qui semble d'ailleurs ne pas être le cas...

Solution serait donc comme l'a dit Pascal16 M est de taille 3*3